|
Věta: Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a, pak 1.| f | je funkce spojitá v bodě a 2.f + g je funkce spojitá v bodě a 3. f - g je funkce spojitá v bodě a 4. f . g je funkce spojitá v bodě a 5. je-li navíc
g(a) ¹ 0,
pak i
|
Důkaz:
Add 1.
Nechť je libovolně pevně zvoleno e>0.
$d>0 "x xÎU(a,d) Þ | f(x) - f(a) | < e
Platí tedy:
$d>0 "x xÎU(a,d) Þ ||f(x)| - |f(a)|| £ | f(x) - f(a) | < e
a funkce | f | je tedy spojitá v bodě a.
Add 2.
Nechť je libovolně pevně zvoleno e>0.
$d1>0 "x xÎU(a,d1) Þ | f(x) - f(a) | < e/2
$d2>0 "x xÎU(a,d2) Þ | g(x) - g(a) | < e/2
Zvolme d, d = min(d1,d2).
Pro každé xÎU(a,d) platí:
| (f(x)+g(x)) – (f(a)+g(a)) | = | (f(x)–f(a)) + (g(x) - g(a)) | £
£ | f(x) – f(a) | + | g(x) - g(a) |
< e/2 + e/2 = e
Funkce f+g je tedy spojitá v bodě a.
Add 3.
Nechť je libovolně pevně zvoleno e>0.
$d1>0 "x xÎU(a,d1) Þ | f(x) - f(a) | < e/2
$d2>0 "x xÎU(a,d2) Þ | g(x) - g(a) | < e/2
Zvolme d, d = min(d1,d2).
Pro každé xÎU(a,d) platí:
| (f(x)-g(x)) – (f(a)-g(a)) | = | (f(x)–f(a)) + (g(a) - g(x)) | £
£ | f(x) – f(a) | + | g(x) - g(a) |
< e/2 + e/2 = e
Funkce f - g je tedy spojitá v bodě a.
Add 4.
Nechť je libovolně pevně zvoleno e>0.
$D>0 $K>0 "x xÎU(a,D) Þ | f(x) | < K
Z předpokladů věty dostaneme
$d1>0 "x xÎU(a,d1) Þ | f(x) - f(a) | < e/2|g(a)|
$d2>0 "x xÎU(a,d2) Þ | g(x) - g(a) | < e/2K
Definujme d, d = min(D,d1,d2).
Pro každé xÎU(a,d) platí:
| f(x).g(x) – f(a).g(a) | = | f(x).g(x) – f(x).g(a) + f(x).g(a) – f(a).g(a) | £
£ | f(x) |.| g(x) – g(a) | + | g(a) |.| f(x) – f(a) |
<< K(e/2K) + | g(a) |.(e/2|g(a)|) = e
Funkce f . g je tedy spojitá v bodě a.
Add 5.
Dokážeme, že funkce 1/g je spojitá v bodě a.
Nechť je libovolně pevně zvoleno e>0.
Dle předchozí věty (bod 4 a 5) platí
$D>0
"x
xÎU(a,D) Þ
Ze spojitosti funkce g plyne:
$d1>0
"x
xÎU(a,d1) Þ
Definujme d, d = min(D,d1).
Pro každé xÎU(a,d) platí
Funkce 1/g je tedy spojitá v bodě a.
Konec důkazu.
