|
Věta: Je-li funkce g spojitá v bodě a a funkce f spojitá v bodě g(a), pak je složená funkce f ○ g spojitá v bodě a. |
Důkaz:
Větu dokážeme z definice spojitosti funkce v bodě.
Nechť je e>0 dáno. Použijeme předpoklady věty:
ze spojitosti funkce f v bodě g(a) plyne
$h>0 "y yÎU(g(a),h) Þ | f(y)-f(g(a)) | < e
ze spojitosti funkce g v bodě a plyne
$d>0 "x xÎU(a,d) Þ | g(x)-g(a) | < h
Potom pro každé xÎU(a,d) platí | f(g(x))-f(g(a)) | < e
a tedy f ○ g je spojitá v bodě a.
Konec důkazu.