Ohniskové vlastnosti
Ohniskové vlastnosti hyperboly
Navážeme nyní na předchozí kapitolu Tečny a normály hyperboly a rozšíříme informace o vlastnostech ohnisek a tečen hyperboly. Předem bychom ale chtěli upozornit na problematiku, která se týká asymptot. V kapitole Definice hyperboly a Základní vlastnosti hyperboly jsme uvedli, že se jedná v podstatě o limitní tečny hyperboly v jejích nevlastních bodech (bodech nekonečně vzdálených, přesto ležících na hyperbole). Budeme-li zde hovořit o tečnách máme tedy také na mysli asymptoty hyperboly.
Pro body souměrně sdružené s jedním z ohnisek podle tečen hyperboly platí věta:
Věta H4.1: Všechny body Q_1 (resp. Q_2) souměrně sdružené podle tečen hyperboly s ohniskem F_1 (resp. F_2) leží na řídicí kružnici d_2 (resp. d_1), která je opsaná z druhého ohniska F_2 (resp. F_1) a má poloměr 2a.
Tedy: Q_1 \in d_2(F_2; \, 2a) , resp. Q_2 \in d_1(F_1; \, 2a).
Důkaz: (aplet H4.1) V důkazu se budeme odvolávat na již dokázané, především na větu H3.2.
Zvolme libovolně bod T \in k_h. Sestrojme tečnu t v bodě T. K jednomu z ohnisek, např. k F_1, najděme souměrně sdružený bod Q_1 podle tečny t. Z definice hyperboly platí: ||F_2T| - |F_1T|| = 2a. Ze souměrnosti podle tečny platí: |F_1T| = |Q_1T| (viz věta H3.2). Tedy: ||F_2T| - |Q_1T|| = 2a, a protože body Q_1, \, T, \, F_2 jsou kolineární (viz věta H3.2), platí rovnost |Q_1F_2| = 2a. Bod T jsme volili tak, aby ležel kdekoliv na hyperbole. Pokud bychom tedy bodem T "posouvali" po hyperbole k_h, ohnisko F_2 by samozřejmě zůstávalo na místě, ale bod Q_1 by se pohyboval po kružnici se středem F_2 o poloměru 2a, což jsme právě dokázali.
Analogicky |Q_2F_1| = 2a.
Budete-li v apletu H4.1 posouvat červeně vyznačeným bodem T po hyperbole k_h, bude se měnit červeně vyznačená tečna hyperboly t a také bod Q_1 - souměrně sdružený s ohniskem F_1. Sledujte, že opravdu při tomto pohybu opisuje bod Q_1 řídicí kružnici d_2(F_2; \, 2a).
Jak už bylo na začátku kapitoly uvedeno, bereme v potaz i limitní tečny - asymptoty, tudíž i limitní body, označené v apletu jako body Q'_1, \, Q''_1, souměrně sdružené podle asymptot u_1, \, u_2. Kdybychom tak neučinili, potom by množinou všech bodů Q_1 (resp. Q_2) byla kružnice d_2 (resp. d_1) bez dvou bodů. Je zajímavé, že právě tyto body Q'_1, \, Q''_1, jsou body dotyku tečen sestrojených z ohniska F_1 na řídicí kružnici d_2. Obdobné platí pro body Q'_2, \, Q''_2 souměrně sdružené s druhým ohniskem F_2, které zde vyznačené nejsou.
Aplet H4.1: Řídicí kružnice hyperboly
Při konstrukcích může nastat situace, kdy známe tečnu t hyperboly, známe i její ohniska F_1, \, F_2, přesto nevíme, kde přesně je bod dotyku T tečny a hyperboly. Zde využijeme výše zmiňovanou kolinearitu bodů F_2, \, T, \, Q_1 (resp. F_1, \, T, \, Q_2). Stejně jako je tomu u elipsy, dotykový bod T leží na spojnici bodu Q_1 (resp. Q_2) souměrně položeného dle tečny k ohnisku F_1 (resp. F_2) s druhým ohniskem F_2 (resp. F_1). Tedy: T \in t \cap Q_1F_2 nebo T \in t \cap Q_2F_1.
Dalšími důležitými body jsou paty kolmic vedených z ohnisek hyperboly k jejím tečnám. Pro takové body platí věta:
Věta H4.2: Paty P_1, \, P_2 všech kolmic sestrojených z ohnisek hyperboly F_1, \, F_2 na tečny této kuželosečky leží na vrcholové kružnici v, která má střed ve středu hyperboly S a má poloměr délky hlavní poloosy a.
Tedy: P_1 \in v(S; \, a), resp. P_2 \in v(S; \, a).
Důkaz: (aplet H4.2) Důkaz je analogický důkazu věty E4.2 pro elipsu. Nebudeme ho tedy zde znovu popisovat.
Budete-li v apletu H4.2 posouvat červeně vyznačeným bodem T po hyperbole k_h, bude se měnit červeně vyznačená tečna hyperboly t a také bod P_1 - pata kolmice sestrojené z ohniska F_1. Sledujte pohyb bodu P_1, ten bude opisovat vrcholovou kružnici v(S; \, a).
Body v apletu H4.2 označené jako P'_1, \, P''_1, jsou paty kolmic spuštěných z ohniska F_1 na asymptoty u_1, \, u_2 hyperboly. Ty taktéž na vrcholové kružnici v leží. Jedná se o stejný problém jako byl s řídicí kružnicí d_1 (resp. d_2). Body P'_1, \, P''_1 jsou opět body dotyku tečen sestrojených z ohniska F_1 na řídicí kružnici v. Obdobné platí pro body P'_2, \, P''_2 paty kolmic sestrojených z druhého ohniska F_2, které zde vyznačené nejsou.
Aplet H4.2: Vrcholová kružnice hyperboly
Pro lepší představu o popsaných ohniskových vlastnostech hyperboly je zde aplet H4.3. V něm jsou obě výše uvedené věty předvedeny v praxi. Vyznačeny jsou oba body Q_1, \, Q_2 souměrně sdružené s ohnisky F_1, \, F_2 podle tečny t. Stejně tak jsou zde i paty kolmic P_1, \, P_2. Pohybujte dotykovým bodem T po hyperbole k_h, sledujte trajektorie bodů Q_1, \, Q_2, \, P_1, \, P_2 .
Aplet H4.3: Vrcholová a řídicí kružnice elipsy
Pokud je dána hyperbola pomocí ohnisek F_1, \, F_2 a velikostí hlavní poloosy a, můžeme o bodu T s jistotou říci, zda-li náleží či nenáleží hyperbole, například pomocí věty H4.3. (čerpána z Kopřivová [8] str.30)
Věta H4.3: Bod T leží na hyperbole právě tehdy, pokud se kružnice l_1(T; \, |TF_1|) (resp. l_2(T; \, |TF_2|)) dotýká řídicí kružnice d_2(F_2; \, 2a) (resp. d_1(F_1; \, 2a)).
Věta H4.3 je vlastně jinou definicí kuželosečky. Důkaz je snadný. Je jen potřeba si uvědomit, že bod dotyku kružnic je bod Q_1 či Q_2 (bod souměrně sdružený s jedním z ohnisek podle tečny v bodě T), tudíž |Q_1T| = |F_1T|. Po té se můžeme odvolat na definici hyperboly.
Popsanou vlastnost si vyzkoušejte v apletu H4.4. Pohybem dotykového bodu T po hyperbole k_h se mění kružnice l_1. Řídicí kružnice d_2 se nemění, a přesto obě kružnice l_1 a d_2 mají jen jeden společný bod, bod Q_1.
Aplet H4.4: Věta H4.3