Úloha 7
| zobraz celé řešení | |
| << předchozí snímek | následující snímek>> |
 |
Zadání: Sestrojte řez kolmého půlválce rovinou XYZ, kde X, Y, Z jsou body umístěné na plášti půlválce, jak je naznačeno na obrázku. (Půlválec je část válce, která vznikne rozdělením válce rovinou kolmou na podstavu, a která obsahuje osu válce.) Při řešení úlohy využijeme osové afinity mezi rovinou řezu a rovinou dolní podstavy a za směr afinity s vezmeme směr osy půlválce.
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ.
K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y. Obrazem přímky XY je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity.
Druhý bod získáme pomocí bodů Y, Z.
Obrazem přímky YZ v zadané osové afinitě je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity.
Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o.
K sestrojení elipsy, jejíž část leží na průsečnici pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body elipsy, protože leží na povrchu válce.
Další bod získáme pomocí bodů X, X' a V', kde bod X' je obraz bodu X a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'V' s osou o. Vzorem přímky X'V' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V.
Pátý bod získáme pomocí bodů Y, Y' a W', kde bod Y' je obraz bodu Y a bod W' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa.
Bodem W' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Y'W' s osou o. Vzorem přímky Y'W' je přímka YS a tedy průsečík přímky YS s rovnoběžkou se směrem s v bodě W' je bod elipsy W. Pomocí bodů X, Y, Z, U, V již můžeme sestrojit elipsu, jejíž část bude průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu.
Ještě potřebujeme najít hranici řezu v horní podstavě. Touto hranicí je úsečka ZW, kde body Z, W jsou průsečíky elipsy a horní podstavy.
Ještě potřebujeme najít hranice řezu v horní podstavě a v "zadní" stěně.
V "zadní" stěně najdeme bod T pomocí bodů X, X'. Označímeli vrcholy tělesa A, B, C, D, pak přímka X'B je obrazem přímky GX, kde bod G získáme jako průsečík dané přímky a osy o. Hledaný bod T je průsečíkem přímky GX a hrany v horní podstavě. Hranicí v horní podstavě je úsečka TU, kde bod U je průsečík elipsy a horní podstavy.
Nyní známe vše potřebné k sestrojení řezu daného tělesa.
|
zobraz řešení interaktivně
 |
Nejprve musíme najít osu afinity, která je průsečnicí roviny dolní podstavy a roviny řezu dané body XYZ. K sestrojení osy afinity budeme potřebovat dva body. Jeden bod získáme pomocí bodů X, Y. Obrazem přímky XY je přímka X'Y', protože obrazem bodu X je bod X' a bodu Y je bod Y'. Průsečíkem přímky XY a přímky X'Y' je samodružný bod P, který bude ležet na ose afinity. |
 |
Druhý bod získáme pomocí bodů Y, Z. Obrazem přímky YZ v zadané osové afinitě je přímka Y'Z', protože obrazem bodu Y je bod Y' a bodu Z je bod Z'. Průsečíkem přímky YZ a přímky Y'Z' je samodružný bod Q, který bude ležet na ose afinity. |
 |
Pomocí bodů P, Q již můžeme sestrojit osu afinity o. |
 |
K sestrojení elipsy, jejíž část leží na průsečnici pláště daného tělesa a roviny řezu, nám stačí pět bodů. Body X, Y, Z, které určují rovinu řezu, jsou body elipsy, protože leží na povrchu válce. Další bod získáme pomocí bodů X, X' a V', kde bod X' je obraz bodu X a bod V' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem V' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod R je průsečík přímky X'V' s osou o. Vzorem přímky X'V' je přímka XR a tedy průsečík přímky XR s rovnoběžkou se směrem s v bodě V' je bod elipsy V. |
 |
Pátý bod získáme pomocí bodů Y, Y' a W', kde bod Y' je obraz bodu Y a bod W' zvolíme libovolně na hranici dolní podstavy tělesa. Bodem W' vedeme rovnoběžku se směrem afinity. Bod S je průsečík přímky Y'W' s osou o. Vzorem přímky Y'W' je přímka YS a tedy průsečík přímky YS s rovnoběžkou se směrem s v bodě W' je bod elipsy W. |
 |
Pomocí bodů X, Y, Z, V, W již můžeme sestrojit elipsu, jejíž část bude průsečnicí pláště daného tělesa a roviny řezu. |
 |
.Ještě potřebujeme najít hranice řezu v horní podstavě a v "zadní" stěně. V "zadní" stěně najdeme bod T pomocí bodů X, X'. Označímeli vrcholy tělesa A, B, C, D, pak přímka X'B je obrazem přímky GX, kde bod G získáme jako průsečík dané přímky a osy o. Hledaný bod T je průsečíkem přímky GX a hrany v horní podstavě. Hranicí v horní podstavě je úsečka TU, kde bod U je průsečík elipsy a horní podstavy. |
 |
Nyní známe vše potřebné k sestrojení řezu daného tělesa. |