Speciální posloupnosti
Různých druhů posloupností je mnoho. Na této stránce se blíže seznámíme se dvěma speciálními typy posloupností. Budou to aritmetické posloupnosti a geometrické posloupnosti .
Aritmetická posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá aritmetická právě tehdy, když
![]() |
Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
![]() |
|
![]() ![]() |
... a to je právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního) je aritmetickým průměrem "svých sousedů".
![]() |
Příklady:
{-1, 1, 3, 5, 7, ... } | -------> | diference d = 2 | |
an= -5n - 13 | -------> | diference d = -5 | |
![]() ![]() | |||
an= an-1 + 0,1 , a1 = 1 | -------> | diference d = 0,1 |
vlastnosti aritmetických posloupností
monotónnost | |||||
a) rostoucí | <=> | d > 0 | |||
b) klesající | <=> | d < 0 | |||
omezenost | |||||
a) shora omezená | <=> | d < 0 | |||
b) zdola omezená | <=> | d > 0 | |||
c) omezená | <=> | d = 0 |
Příklady:
{ -1, 1, 3, 5, 7, ... } | -------> | diference d = 2 | |
-------> | rostoucí, zdola omezená | ||
an= - 5n - 13 | -------> | diference d = -5 | |
-------> | klesající, shora omezená | ||
an= an-1 + 0,1 , a1 = 1 | -------> | diference d = 0,1 | |
-------> | rostoucí, zdola omezená |
vztahy platící pro aritmetické posloupnosti
n-týčlen aritmetické posloupnosti | |||
an= a1 + (n - 1) d |
![]() |
||
součet prvních n členů aritmetické posloupnosti | |||
![]() |
![]() |
Geometrická posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá geometrická právě tehdy, když
![]() |
Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
![]() |
|
![]() ![]() |
... a to je právě tehdy, když každý člen posloupnosti (kromě prvního) je geometrickým průměrem "svých sousedů".
![]() |
Příklady:
{ -1, 1, -1, 1, -1, ... } | -------> | kvocient q = -1 | |
an = 1/2n | -------> | kvocient q = 1/2 | |
![]() ![]() | |||
an = 4an-1, a1 = 1 | -------> | kvocient q = 4 |
vlastnosti geometrických posloupností
monotónnost | ||||||
a) rostoucí | <=> | a1 > 0 , q > 1 | nebo | a1 < 0 , 0 < q < 1 | ||
b) klesající | <=> | a1 > 0, 0 < q < 1 | nebo | a1 < 0 , q > 1 | ||
omezenost | ||||||
a) shora omezená | <=> | a1 < 0, q > 1 | ||||
b) zdola omezená | <=> | a1 > 0, q > 1 | ||||
c) omezená | <=> | | q | < 1 nebo | q | = 1 nebo a1 = 0 |
Příklady:
{ -1, 1, -1, 1, -1, ... } | -------> | kvocient q = -1 , a1 = -1 | |
-------> | ani rostoucí, ani klesající, omezená | ||
an = 1/2n | -------> | kvocient q = 1/2 , a1 = 1/2 | |
-------> | klesající, omezená | ||
an = 4 an-1 , a1 = 1 | -------> | kvocient q = 4, a1 = 1 | |
-------> | rostoucí, zdola omezená |
vztahy platící pro geometrické posloupnosti
n-tý člen geometrické posloupnosti |
||||
an= a1 qn - 1 |
![]() |
|||
součet prvních n členů geometrické posloupnosti | ||||
sn= n an | pokud q = 1 | |||
![]() |
pokud
q
![]() |
![]() |
Odkazy na cizí stránky zabývající se tímto tématem:
aritmetické posloupnosti
1. Zjistěte, zda jsou zadané posloupnosti aritmetické, a pokud ano, určete jejich první člen a diferenci.
a) |
![]() |
![]() |
|
b) |
![]() |
![]() |
2. Určete reálné číslo x tak, aby čísla a1, a2, a3 tvořila tři následující členy aritmetické posloupnosti.
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
3. V aritmetické posloupnosti je a1 = 64 a d = 4. Kolikátý člen je roven číslu 100? |
![]() |
4. V aritmetické posloupnosti je a1 = 5 a d = 3 určete, kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby součet byl větší než 100. |
![]() |
5. Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí:
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
6. Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obvod tohoto trojúhelníku je 96cm. Vypočítejte délky stran. |
![]() |
7. Řešte rovnici a nerovnici s neznámou
x
N.
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
geometrické posloupnosti
8. Zjistěte, zda jsou zadané posloupnosti geometrické, a pokud ano, určete jejich první člen a kvocient.
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
9. Určete reálné číslo x tak, aby čísla a1, a2, a3 tvořila tři následující členy geometrické posloupnosti.
![]() |
![]() |
10. Určete první člen a kvocient geometrické posloupnosti, ve které platí:
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
11. V geometrické posloupnosti s prvním členem
a1= 36
určete kvocient tak, aby platilo:
s3
![]() |
![]() |
12. Řešte rovnici a nerovnici s neznámou
x
N.
a) |
![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
13. Za pět let se počet obyvatel ve městě X zvýšil o 12%. Jaký byl roční přírůstek obyvatel? |
![]() |