Řady

S pojmem posloupnost je úzce spojen pojem řada. Řada vznikne sečtením prvků posloupnosti. Pokud je posloupnost konečná, vznikne konečná řada , pokud je posloupnost nekonečná, vznikne sečtením jejích členů nekonečná řada .

Definice: Je dána posloupnost (a_n). Výraz tvaru

se nazývá řada.

Členy posloupnosti se nazývají členy řady.

Pokud je posloupnost konečná, tedy vznikne konečná řadu a zapisuje se

Pokud je posloupnost nekonečná, tedy vznikne nekonečná řada a zapisuje se

Jelikož řada je definovaná jako součet, budeme se hlavně zajímat o to, zda danou řadu lze nebo nelze sečíst, a pokud ano, tak jaký je tento součet.

Nekonečné řady

Definice: Řada se nazývá konvergentní, pokud je její součet reálné číslo. V opačném případě se řada nazývá divergentní.

Pojem konvergence a divergence je známý již z limit. Zde se vyskytuje zcela oprávněně, protože možnost sečíst řadu opravdu souvisí s existencí limity určité posloupnosti a to posloupnosti částečných součtů.

posloupnost částečných součtů ( s_n)

Máme dánu posloupnost (a_n). Člen posloupnosti částečných součtů s_k vznikne jako součet a₁ + a₂ + a ₃ + ... + a_k. Tedy

Příklad:

Je dána posloupnost a_n = 1/2ⁿ = { 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

		s1 = a1 = 1/2 = 0,5
		s2 = a1 + a2 = 1/2 + 1/4 = 0,75
		s3 = a1 + a2 + a3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0,875
		s4 = a1 + a2  + a3 + a4 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 0,9375
		s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 0,96875
		...

Z tohoto příkladu by už mohlo být vidět, jak souvisí součet řady s posloupností částečných součtů. Je vidět, že členy této posloupnosti se se vzrůstajícím n stále více blíží k 1. Můžeme se tedy domnívat, že pokud součet "všech" členů posloupnosti (a_n), tedy součet řady bude právě 1.

součet nekonečné řady

Věta1: Řada je konvergentní právě tehdy, když je konvergentní posloupnost částečných součtů a limita posloupnosti částečných součtů je rovna součtu této řady.

Příklad:

Vezmeme posloupnost z minulého příkladu, tady a_n = 1/2ⁿ = { 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... }

Tato posloupnost je geometrická (a₁ = 1/2, q = 1/2), podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních k členů:

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

	s1= 1/2 = 1/2
	s2= 1/2 + 1/4 = 3/4
	...
	...

... součet řady bude tedy vypadat následovně ...

Tato řada konverguje, protože konverguje posloupnost částečných součtů.

Příklad:

Nyní zkusíme, jak bude vypadat řada vznikla z posloupnosti a_n = n = { 1, 2, 3, 4, ... }

Tato posloupnost je aritmetická (a₁ = 1, d = 1), podle vzorce umíme tedy sečíst vždy prvních k členů:

Posloupnost částečných součtů bude vypadat následovně:

	s1 = 1 = 1
	s2 = 1 + 2 = 3
	...
	...

... součet řady bude tedy vypadat následovně ...

Tato řada je divergentní, protože diverguje posloupnost částečných součtů.

nekonečná geometrická řada

Speciálním typem nekonečné řady je nekonečná geometrická řada. Ta vznikne z geometrické posloupnosti. Tato řada má tu příjemnou vlastnost, že existuje jednoduché kriterium konvergence a pokud je řada konvergentní, lze pomocí vzorce vyjádřit její součet.

Máme nekonečnou geometrickou řadu s prvním členem a₁ a kvocientem q, potom ...

	|q| < 1	--------->	řada konverguje
	|q| 1	--------->	řada diverguje

Pokud řada konverguje, potom platí

Konečné řady

U konečných řad nemá smysl se bavit o tom, zda řadu jde nebo nejde sečíst. Konečně mnoho čísel jde vždy sečíst (přinejhorším hrubou silou).

Tato metoda ale není nejvhodnější, pokud má řada víc členů (sečtěte prvních 10 625 členů posloupnosti ...). Pro takové případy lze odvodit vzorce na součet několika základních konečných řad.

Odkazy na cizí stránky zabývající se tímto tématem:

		- počítá součet konečné řady
		- počítá součet konečné řady - vypíše posloupnost částečných součtů
		- příklady: zápis pomocí sumy
		- příklady: zápis pomocí sumy

Příklady

konečné řady

1. Zapište pomocí sumy:

	a)	5 + 7 + 9 + 11 + ... + 27
	b)	-1 + 2 - 4 + 8 - 16 + ... -1024

2. Vypočítejte:

	a)
	b)

nekonečné geometrické řady

3. U daných nekonečných geometrických řad určete první člen a kvocient. Rozhodněte, zda je daná řada konvergentní a pokud ano, určete její součet.

	a)
	b)

4. Určete, pro která reálná x jsou dané řady konvergentní a určete jejich součet.

	a)
	b)

5. Řešte rovnice s neznámou x.

	a)
	b)

6. Slovní úlohy:

	a)	"Nekonečná" spirála se skládá z polokružnic, poloměr první polokružnice je 6cm, poloměr každé další polokružnice je o 1/3 menší než poloměr kružnice předcházející. Vypočítejte délku spirály.
	b)	Vypočítejte délku "nekonečné" lomené čáry, která se skládá z úseček B1B2, B2B3, B3B4, B4B5, ... . Souřadnice krajních bodů úseček jsou: