Dvojnásobný argument
Pri tomto type úloh využívame vzorce pre dvojnásobný uhol, taktiež sa predpokladá znalosť predchádzajúcich typov úloh.
- Príklad 1
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:
\cos x + \sin 2x = 0
Riešenie
\cos x + 2\sin x\cos x = 0 (Použili sme vzorec \sin 2x = 2\sin x \cos x .)
\cos x(1 + 2\sin x) = 0 (Vytknuli sme pred zátvorku výraz obsahujúci funkciu kosínus.)
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule). Odkiaľ plynie:
\cos x(1 + 2\sin x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = 0 \vee (1+2\sin x) = 0
Prvá možnosť:
\cos x = 0
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Druhá možnosť:
1 + 2\sin x = 0
Úpravou dostávame \sin x = -{1 \over 2}
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \sin x = -{1 \over 2} \Rightarrow x = {7 \over 6}{\pi} + 2k\pi; {11 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{7}{6}{\pi}+2k\pi; \frac{11}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.
- Príklad 2
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:
\sin 2x \cos x + \sin^2 x = 1
Riešenie
2\sin x\cos x\cos x = 1 - \sin^2 x (Použili sme vzorec \sin 2x = 2\sin x \cos x.)
2\sin x \cos^2 x = \cos^2 (Použili sme vzorec \sin^2 x + \cos^2 x = 1.)
\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
\cos^2 x(2\sin x - 1) = 0 \Leftrightarrow \cos^2 x = 0 \vee 2\sin x - 1 = 0
Prvá možnosť:
\cos^2 x = 0
\cos x = 0
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Druhá možnosť:
2\sin x -1 = 0
Úpravou dostávame \sin x = {1 \over 2}.
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \sin x = {1 \over 2} \Rightarrow x = {\pi \over 6} + 2k\pi; {5 \over 6}{\pi} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{5}{6}{\pi}+2k\pi \}\;.
- Príklad 3
- Riešte goniometrickú rovnicu s neznámou x \in \mathbb{R}:
2\sin 2x - 2\cos 2x = 2
Riešenie
4\sin x \cos x - 2(\cos^2 x - \sin^2 x) = 2 (Použili sme vzorce \sin 2x = 2\sin x \cos x a \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x.)
4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2 \sin^2 x = 2
4\sin x \cos x - 2\cos^2 x + 2(1 - \cos^2 x) = 2 (Použili sme vzorec \sin^2 x + \cos^2 x = 1.)
4\sin x \cos x - 4\cos^2 x + 2 - 2 = 0
4\cos x(\sin x - \cos x) = 0
Využijeme vlastnosť, kedy sa súčin rovná nule (aspoň, keď jeden činiteľ je rovný nule).
4\cos x(\sin x - \cos x) = 0 \Leftrightarrow 4\cos x = 0 \vee \sin x - \cos x = 0
Prvá možnosť:
4\cos x = 0
Úpravou dostávame, že \cos x = 0.
Z grafu a z tabuľkových hodnôt funkcie kosínus plynie, že \cos x = 0 \Rightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Druhá možnosť:
\sin x - \cos x = 0
Po úprave dostávame:
\sin x = \cos x
Z grafu plynie, že \sin x = \cos x \Rightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}.
Výsledné riešenie zapíšeme v tvare: K = \bigcup\limits_{k\in\mathbb{Z}}\{\frac{\pi}{2}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi \}\;.
