Cyklometrické funkcie
Jedná sa o funkcie \arcsin x (čítame arkussínus), \arccos x (čítame arkuskosínus), {\rm arctg}\: x (čítame arkustangens), {\rm arccotg}\: x (čítame arkuskotangens), ktoré sú inverzné k funkciam goniometrickým.
Poznámka
Bližšie informácie o inverznej funkcií môžme nájsť v diplomovej práci Funkce.
Funkcie arkussínus a arkuskosínus
Definice
Inverzná funkcia k funkcii sínus, ktorá je definovaná na intervale <-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}>, sa nazýva arkussínus, zapisujeme y = {\rm arcsin}\: x. Pričom platí x = \sin y, kde -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}.
Poznámka
Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkussínus nedefinuje.Definice
Inverzná funkcia k funkcii kosínus, ktorá je definovaná na intervale <0; \pi>, sa nazýva arkuskosínus, zapisujeme y = {\rm arccos}\: x. Pričom platí x = \cos y, kde 0 \leq y \leq \pi.
Poznámka
Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkuskosínus nedefinuje.Základné vlastnosti cyklometrických funkcií arkussínus a arkuskosínus
V nasledujúcej tabuľke si môžme všimnuť vlastnosti goniometrických funkcií (s ohraničeným definičným oborom) a k nim inverzným cyklometrickým funkciam.
|
Funkcia |
\sin x |
\arcsin x |
\cos x |
\arccos x |
|
Definičný obor |
<-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}> |
<-1;\ 1> |
<0;\ \pi> |
<-1;\ 1> |
|
Obor funkčných hodnôt |
<-1;\ 1> |
<-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}> |
<-1;\ 1> |
<0;\ \pi> |
|
Monotónnosť |
funkcia je rastúca |
funkcia je rastúca |
funkcia je klesajúca |
funkcia je klesajúca |
Funkcie arkustangens a arkuskotangens
Definice
Inverzná funkcia k funkcii tangens, ktorá je definovaná pre každé x \in \mathbb{R}, sa nazýva arkustangens, zapisujeme y = {\rm arctg}\: x. Pričom platí x = {\rm tg}\: y, kde -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}.
Poznámka
Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkustangens nedefinuje.Definice
Inverzná funkcia k funkcii kotangens, ktorá je definovaná pre každé x \in \mathbb{R}, sa nazýva arkuskotangens, zapisujeme y = {\rm arccotg}\: x. Pričom platí x = {\rm cotg}\: y, kde 0 < y < \pi.
Poznámka
Na iných intervalov, kde je x prostá, sa funkcia arkuskotangens nedefinuje.Základné vlastnosti cyklometrických funkcií arkustangens a arkuskotangens
V nasledujúcej tabuľke si môžme všimnuť vlastnosti goniometrických funkcií (s ohraničeným definičným oborom) a k nim inverzným cyklometrickým funkciam.
|
Funkcia |
{\rm tg}\: x |
{\rm arctg}\: x |
{\rm cotg}\: x |
{\rm arccotg}\: x |
|
Definičný obor |
(-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}) |
\mathbb{R} |
(0;\ \pi) |
\mathbb{R} |
|
Obor funkčných hodnôt |
\mathbb{R} |
(-\frac {\pi}{2};\ \frac {\pi} {2}) |
\mathbb{R} |
(0;\ \pi) |
|
Monotónnosť |
funkcia je rastúca |
funkcia je rastúca |
funkcia je klesajúca |
funkcia je klesajúca |
Grafy cyklometrických a ďalších funkcií
Poznámka
Grafy cyklometrických funkcií sú vytvorené pomocou programu GeoGebra, kde sa používa iné značenie cyklometrických funkcií. Preto napríklad funkcia {\rm arcsin}\: x sa v GeoGebre značí ako {\rm asin}\: x.Arkussínus
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie arkus sínus.
Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 388
Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arcsin}\: (b\cdot x + c) + d.
Poznámka
Grafy cyklometrických funkcií sú zobrazované pomocou apletu. V jednotlivých apletoch je možné pomocou posuvníkov meniť základné hodnoty parametrov a,b,c,d. Je dôležité si všímať práve tieto zmeny a uvedomiť si, ako vplýva každý parameter na danú funkciu.
Arkuskosínus
V nasledujúcom obrázku sa môźme pozrieť na obecný graf funkcie arkuskosínus.
Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 435
Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arccos}\: (b\cdot x + c) + d.
Arkustangens
Obecný graf funkcie arkustangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 474
Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arctg}\: (b\cdot x + c) + d.
Arkuskotangens
Obecný graf funkcie arkuskotangens je znázornený na nasledujúcom obrázku.
Notice: Undefined variable: prefix in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/matus_kepic_dp/gon_rovnice_nerovnice/include/teoria.cyklometricke_funkcie.inc on line 512
Funkcia f(x)= a \cdot {\rm arccotg}\: (b\cdot x + c) + d.
Veta
Pre cyklometrické funkcie platí:
\arcsin 0 = 0,\quad \arcsin \frac {1}{2} = \frac {\pi}{6},\quad \arcsin 1 = \frac {\pi}{2},\quad \arcsin (-1) = -\frac {\pi}{2};\arccos 0 = \frac{\pi}{2},\quad \arccos \frac {1}{2} = \frac {\pi}{3},\quad \arccos 1 = 0,\quad \arccos (-1) = \pi;
\rm arctg\ 0 = 0,\quad \rm arctg\ 1 = \frac {\pi}{4};
\rm arccotg\ 0 = \frac{\pi}{2},\quad \rm arccotg\ 1 = \frac{\pi}{4}.Poznámka
Dôkaz tejto vety je trivialny, vychádza z vlastnosti inverzných funkcií. Napríklad \arcsin 1 = \frac {\pi}{2}, lebo \sin \frac {\pi}{2} = 1. Podobne postupujeme v ostatných prípadoch.
