Variace, permutace, kombinace

Úlohy

Odkazy na úlohy podle témat:
Faktoriál
Variace
Permutace
Kombinační čísla
Kombinace
Souhrnné úlohy

Faktoriál

Úloha 2.1

Vypočtěte:

a)

7! 5!

b)

7! + 5! 5!

c)

5! · 6! 7!

d)

8! 5! 3!

Výsledky:
a) 42
b) 43
c) 120/7
d) 56

Úloha 2.2

Pro přípustné hodnoty n zjednodušte výrazy:

a)	n! (n − 1)!

b)	n!(n + 1)! (n − 1)!(n + 2)!

c)

(n + 1)! n!

−

n! (n − 1)!

d)

1 n!

−

1 (n − 1)!

−

1 (n − 2)!

Výsledky:
a) n, n ∈ N
b) n/(n + 2), n ∈ N
c) 1, n ∈ N
d) (1 − n²)/n!, n ∈ N, n ≥ 2

Úloha 2.3

Pro přípustné hodnoty n zjednodušte výrazy:

a)

1 n!

−

3 (n + 1)!

−

n2 − 4 (n + 2)!

b)

n2 − 9 (n + 3)!

+

6 (n + 2)!

−

1 (n + 1)!

c)

(n + 2)! n!

− 2

(n + 1)! (n − 1)!

+

n! (n − 2)!

d)

(n + 2)! (n + 1)!

−

(n + 1)! n!

Výsledky:
a) 0, n ∈ Z, n ≥ 0
b) 1/(n + 2)!, n ∈ Z, n ≥ −1
c) 2, n ∈ N, n ≥ 2
d) 1, n ∈ Z, n ≥ 0

Úloha 2.4

V Z řešte rovnice:

a)

(x + 3)! (x + 1)!

− 16 x = −24

b)

(x + 6)! (x + 4)!

+ x2 − 16 x = 28

c)

x ·

(x + 3)! (x + 2)!

+ x2 = 14

d)	(5!)x = (4!)x

Výsledky:
a) {2, 3}
b) {2}
c) {2}
d) {0}
(druhý kořen kvadratické rovnice v úlohách b) a c) není platný, protože faktoriál je definovaný pouze pro nezáporná celá čísla)

Variace

Úloha 2.5

Kolik trojciferných čísel lze sestavit z číslic 1, 2, 3, 4, 5, jestliže se žádná číslice neopakuje?

Výsledek: V(3, 5) = 60

Úloha 2.6

Kolik různých umístění může být na prvních třech místech při hokejovém mistrovství světa, zúčastní-li se ho osm družstev?

Výsledek: V(3, 8) = 336

Úloha 2.7

Určete počet všech nejvýše čtyřciferných přirozených čísel s různými číslicemi, která jsou sestavena z číslic 0, 2, 4, 6, 8.

Výsledek: 164

Sečteme počet jednociferných, dvouciferných, trojciferných a čtyřciferných čísel, sestavených podle zadání úlohy; čísla přitom nemohou začínat číslicí nula:
V(1, 4) + 4 · V(1, 4) + 4 · V(2, 4) + 4 · V(3, 4) = 4 + 16 + 48 + 96 = 164
nebo: [V(1, 5) − 1] + [V(2, 5) − V(1, 4)] + [V(3, 5) − V(2, 4)] + [V(4, 5) − V(3, 4)] = (5 − 1) + (20 − 4) + (60 − 12) + (120 − 24) = 4 + 16 + 48 + 96 = 164

Úloha 2.8

Určete, kolika způsoby lze sestavit rozvrh na jeden den pro třídu, v níž se vyučuje dvanácti předmětům a každému nejvýše jednu vyučovací hodinu denně, má-li se skládat ze šesti vyučovacích hodin.
V kolika z nich se vyskytuje chemie?
V kolika z nich je chemie zařazena na 1. vyučovací hodinu?

Výsledky:
V(6, 12) = 665 280
6 · V(5, 11) = 332 640
V(5, 11) = 55 440

Úloha 2.9

Určete počet prvků, z nichž lze utvořit
a) 240 dvoučlenných variací;
b) dvakrát více čtyřčlenných variací než tříčlenných variací.

Výsledky: a) 16; b) 5

Úloha 2.10

O telefonním čísle svého spolužáka si Vašek zapamatoval jen to, že je devítimístné, začíná dvojčíslím 23, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné pětadvaceti. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu.

Výsledek: 2 · V(5, 6) = 1 440

Permutace

Úloha 2.11

Kolika způsoby lze rozesadit pět hostů do pěti křesel stojících v jedné řadě?

Výsledek: P(5) = 5! = 120

Úloha 2.12

Kolika různými způsoby lze postavit do kruhu (tváří do středu):
a) 5 různých osob;
b) m různých osob?
Dvě rozmístění považujeme za stejná, jestliže lze jedno na druhé převést otáčením.

Výsledky: a) 24; b) (m − 1)!

Úloha 2.13

Určete, kolika způsoby se v šestimístné lavici může posadit šest hochů, jestliže
a) dva chtějí sedět vedle sebe;
b) dva chtějí sedět vedle sebe a třetí chce sedět na kraji.

Výsledky:
a) 2 · P(5) = 240
b) 2 · 2 · P(4) = 96

Úloha 2.14

Určete, kolika způsoby může m chlapců a n dívek nastoupit do zástupu tak, aby
a) nejdříve stály všechny dívky a pak všichni chlapci;
b) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka ani mezi žádnými dvěma dívkami nebyl žádný chlapec;
c) mezi žádnými dvěma chlapci nebyla žádná dívka.

Výsledky:
a) P(n) · P(m) = n! m!
b) 2 · P(n) · P(m) = 2 · n! m!
c) P(m) · P(n + 1) = m! (n + 1)!

Úloha 2.15

Kolika způsoby lze uspořádat množinu přirozených čísel {1, 2, 3, …, 2n} tak, aby každé sudé číslo zůstalo v pořadí na sudém místě?

Výsledek: (n!)²

Jestliže má každé sudé číslo zůstat na sudém místě, tak také každé liché číslo zůstane na lichém místě. Máme tak dvě množiny o n prvcích, které chceme uspořádat. Každou z těchto množin můžeme uspořádat n! způsoby. Celkem je proto n! · n! = (n!)² možností, jak uspořádat množinu {1, 2, 3, …, 2n} podle zadaných podmínek.

Úloha 2.16

Určete počet prvků tak, aby
a) bylo možno z nich utvořit právě 40 320 permutací;
b) při zvětšení jejich počtu o dva se počet permutací zvětšil 56krát;
c) při zmenšení jejich počtu o dva se počet permutací zmenšil dvacetkrát.

Výsledky: a) 8; b) 6; c) 5

* Úloha 2.17

Představte si, že zapíšete pod sebe všechny permutace čísel 1, 2, 3, 4, 5; vznikne tak obdélníkové schéma, které má 120 řádek a 5 sloupců. Určete součet všech čísel v každém sloupci.

Výsledek: 360

* Úloha 2.18

Určete, kolika nulami končí dekadický zápis čísla 258!.

Číslo 258! se dá zapsat jsou součin prvočísel:
258! = 2^n₁ · 3^n₂ · 5^n₃ · 7^n₄ · 11^n₅ · … · p^n_k, kde p je největší prvočíslo
menší než 258. Počet nul je roven menšímu z čísel n₁, n₃.

Výsledek: 63

Kombinační čísla

Úloha 2.19

Vypočtěte:

a)	(	7 2	)
b)	(	8 3	)

c)

(

121 120

)

d)	(	n + 2 2	)
e)	(	n + 1 n − 1	)

Výsledky:
a) 21
b) 56
c) 121
d) 1/2 (n² + 3n + 2), n ∈ N
e) 1/2 (n² + n), n ∈ N

Úloha 2.20

V množině přirozených čísel řešte rovnici:

a)

(

n 2

)

+

(

n − 1 2

)

= 4

b)

(

n 3

)

+

(

n + 2 3

)

+

(

n + 4 3

)

=

n3 2

+ 88

Výsledky:
a) {3}
b) {6}

Kombinace

Úloha 2.21

Je dán čtverec ABCD a na každé jeho straně n (n ≥ 3) vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech.
(Porovnejte s úlohou 1.10 z minulé kapitoly.)

Úloha 2.22

Petr má sedm knih, o které se zajímá Ivana, Ivana má deset knih, o které se zajímá Petr. Určete, kolika způsoby si Petr může vyměnit dvě své knihy za dvě knihy Ivaniny.

Výsledek: 945

Úloha 2.23

Ve skladu je 10 výrobků, mezi nimi jsou 3 vadné. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat kolekci pěti výrobků, aby
a) všechny byly dobré,
b) byl právě jeden vadný,
c) byl nejvýš jeden vadný,
d) byl aspoň jeden vadný?

Výsledky:
a) K(5, 7) = 21
b) K(1, 3) · K(4, 7) = 3 · 35 = 105
c) (a) + (b) = 21 + 105 = 126
d) K(5, 10) − K(5, 7) = 252 − 21 = 231

Úloha 2.24

Určete, kolika způsoby je možno ze dvaceti osob vybrat deset, požadujeme-li, aby mezi vybranými
a) nebyl pan A;
b) nebyli zároveň pánové A a B;
c) byl aspoň jeden z pánů A, B.

Úloha 2.25

Určete počet prvků, z nichž lze utvořit 66 dvoučlenných kombinací.

Výsledek: 12

Úloha 2.26

Určete počet prvků tak, aby
a) počet čtyřčlenných kombinací z nich vytvořených byl dvacetkrát větší než počet dvoučlenných kombinací;
b) při zvětšení počtu prvků o jeden se počet tříčlenných kombinací zvětšil o 21.

Výsledky: a) 18; b) 7

Úloha 2.27

Kolik hráčů se zúčastnilo turnaje ve stolním tenisu, jestliže bylo odehráno 21 zápasů a hráči hráli každý s každým jednou?

Výsledek: 7

Úloha 2.28

Zvětší-li se počet prvků o 1, zvětší se počet tříčlenných kombinací z nich utvořených o 21. Kolik je dáno prvků?

Výsledek: 7

Úloha 2.29

Kolik tříprvkových podmnožin má množina {0, 1, 2, …, 9}?

Výsledek: K(3, 10) = 120

Úloha 2.30

Kolik přímek je určeno šesti body, jestliže
a) žádné tři body neleží na jedné přímce,
b) právě tři body leží na jedné přímce?

Výsledky: a) 15; b) 13

Úloha 2.31

Jsou dány rovnoběžné (různé) přímky p, q. Na přímce p je dáno osm různých bodů, na přímce q jedenáct různých bodů. Určete počet:
a) trojúhelníků s vrcholy v daných bodech,
b) konvexních čtyřúhelníků s vrcholy v daných bodech.

Výsledky: a) 748; b) 1 540

Úloha 2.32

V levém dolním rohu šachovnice 8 × 8 je umístěna figurka, kterou lze jedním tahem přemístit buď o jedno pole vpravo, nebo o jedno pole vzhůru. Spočtěte, kolika různými způsoby lze tuto figurku přemístit do pravého horního rohu.

Výsledek: K(8, 16) = 12 870

Na cestě z levého dolního rohu do pravého horního rohu šachovnice udělá figurka osm kroků doprava a osm kroků nahoru, dohromady tedy udělá šestnáct kroků. Počet způsobů, jak přemístit figurku do pravého horního rohu, proto odpovídá počtu způsobů, jak vybrat ze šestnácti kroků osm kroků vpravo (nebo nahoru, úvaha je symetrická). Osm kroků ze šestnácti lze vybrat K(8, 16) způsoby.

Souhrnné úlohy

Úloha 2.33

Určete, kolika způsoby je možno seřadit u startovací čáry osm závodních automobilů do dvou řad po čtyřech vozech, jestliže
a) v každé řadě záleží na pořadí;
b) na pořadí v řadách nezáleží.

Výsledky: a) 40 320; b) 70

Úloha 2.34

V kupé železničního vagónu jsou proti sobě dvě lavice po pěti místech. Z deseti cestujících si čtyři přejí sedět ve směru jízdy, tři proti směru a zbývajícím třem je to lhostejné. Určete, kolika způsoby se mohou rozsadit.

Výsledek: 43 200

Úloha 2.35

Kolika způsoby lze uspořádat množinu A = {a, b, c, d, e, f}?
V kolika případech bude prvek b před prvkem c?
V kolika případech je prvek b na prvním místě a zároveň prvek c není na posledním místě?
V kolika případech nebude prvek c ani první, ani poslední?

Výsledky: 720; 360; 96; 480

Úloha 2.36

Na maturitním večírku je 15 hochů a 12 děvčat. Určete, kolika způsoby z nich lze vybrat čtyři taneční páry.

Úloha 2.37

Ze skupiny deseti kosmonautů je třeba vybrat čtyřčlennou posádku. Je však nevhodné, aby určití dva kosmonauté letěli spolu. Kolik různých výběrů posádky je možno vytvořit?

Výsledek: 182

Úloha 2.38

Určete, kolika způsoby lze na šachovnici 8 × 8 postavit pět různých figur tak, aby dvě stály na černých a tři na bílých polích.

Úloha 2.39

Určete, kolika způsoby lze přemístit písmena slova BEROUNKA tak, aby nějaká skupina po sobě jdoucích písmen utvořila
a) slovo BERAN;
b) slova NERO a KUBA v libovolném pořadí;
c) slova BUK a NORA v libovolném pořadí.

Výsledek: a) 24; b) 2; c) 6.

Úloha 2.40

Určete počet způsobů, jimiž lze vedle sebe zapsat písmena slova KOMBINACE tak, aby v tomto pořadí byly samohlásky v abecedním pořádku.

Výsledek: 9!/4! = 15 120

Úloha 2.41

Určete počet průsečíků všech úhlopříček konvexního n-úhelníku, nemají-li žádné tři společný vnitřní bod.

Úloha 2.42

Určete, v kolika bodech se protíná 12 přímek v rovině, z nichž pět je rovnoběžných a žádné tři neprocházejí týmž bodem.

Výsledek: 56

Úloha 2.43

Je dán rovnostranný trojúhelník a na každé jeho straně je dáno n (n ≥ 3) vnitřních bodů. Určete počet všech trojúhelníků
a) s vrcholy v daných bodech;
b) s vrcholy v daných bodech a na různých stranách daného trojúhelníku.

Úloha 2.44

V prostoru je dáno n bodů, z nichž p leží v téže rovině, a kromě nich už žádné čtyři body v jedné rovině neleží. Určete:
a) počet čtyřstěnů s vrcholy v daných bodech;
b) počet rovin, které tyto body určují.

Úloha 2.45

Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž dekadickém zápisu jsou pouze cifry 3, 5, 7, 9, každá nejvýše jednou.

Výsledek: 22

Úloha 2.46

Osm hostů se má ubytovat ve třech pokojích, které mají čísla 1, 2, 3. Pokoj č. 1 je třílůžkový, pokoj č. 2 také a pokoj č. 3 je dvoulůžkový. Kolika způsoby je možné uvedené hosty rozmístit v těchto třech pokojích?

Úloha 2.47

V množině přirozených čísel řešte rovnici:
V(2, x) + K(1, x) = 256.

Výsledek: {16}

Úloha 2.48

V množině přirozených čísel řešte nerovnici:
K(x − 2, x) < 45.

Výsledek: {2, 3, …, 9}