Kombinační čísla
Kombinační číslo
Kombinační číslo je symbol, který označuje počet k-členných kombinací z n prvků.
| ( | n k | ) | = | n! k! (n − k)! |
| ( | n k | ) |
Příklady
| ( | 7 5 | ) | = | 7! 5! (7 − 5)! |
= | 7! 5! 2! |
= | 21 |
| ( | 0 0 | ) | = | 0! 0! 0! |
= | 1 1 · 1 |
= | 1 |
Určíme hodnoty několika speciálních případů kombinačních čísel:
k = 0
| ( | n 0 | ) | = | n! 0! (n − 0)! | = | n! n! | = 1 |
k = n
| ( | n n | ) | = | n! n! (n − n)! | = | n! n! | = 1 |
k = 1
| ( | n 1 | ) | = | n! 1! (n − 1)! |
= n |
| ( | n 0 | ) | = | ( | n n | ) | = 1 |
| ( | n 1 | ) | = n |
Vlastnosti kombinačních čísel
Věta 1
| ( | n n − k | ) | = | ( | n k | ) |
Důkaz:
| ( | n n − k | ) | = | n! (n − k)! [n − (n − k)]! |
= | n! (n − k)! k! |
= | ( | n k | ) |
Tato vlastnost matematicky popisuje jednoduchý fakt: Chceme-li vybrat k-prvkovou podmnožinu n-prvkové množiny, zbyde vždy n − k nevybraných prvků. Rozhodneme-li se tedy vybrat n − k prvků, které do hledané podmnožiny nezařadíme, počet možností, jak je vybrat, bude stejný jako při přímém výběru k prvků.
Příklad
Mezi šest dětí chceme rozdělit 2 oranžová a 4 zelená trička. Určete počet možností, jak to udělat.
Řešení
První možnost: Určíme počet možností, jak vybrat dvě děti, které dostanou oranžová trička;
ostatní čtyři dostanou zelená trička.
Druhá možnost: Určíme počet možností, jak vybrat čtyři děti, které dostanou zelená trička;
ostatní dvě dostanou oranžová trička.
| ( | 6 2 | ) | = | ( | 6 4 | ) | = | 6! 2! 4! |
= 15 |
Najděte všechny možnosti, jak rozdělit trička:
Vyberte tričko a potom ho kliknutím na jméno přiřaďte některému z dětí.
Anna,
Bára,
Cyril,
David,
Eva,
Filip
Přidat rozdělení do tabulky /
Smazat změny
| Anna | Bára | Cyril | David | Eva | Filip |
|---|
Věta 2
| ( | n k | ) | + | ( | n k + 1 | ) | = | ( | n + 1 k + 1 | ) |
Příklad
Vyjádřete jediným kombinačním číslem:
| ( | 20 6 | ) | + | ( | 20 13 | ) |
Řešení
| ( | 20 6 | ) | + | ( | 20 13 | ) | =
|
( | 20 6 | ) | + | ( | 20 7 | ) | =
|
( | 21 7 | ) |
Příklad
Vyjádřete jediným kombinačním číslem:
| ( | 4 4 | ) | + | ( | 5 4 | ) | + | ( | 6 4 | ) | + | ( | 7 4 | ) | + | ( | 8 4 | ) |
Řešení
| Nejprve si uvědomíme, že platí | ( | n n | ) | = 1, a proto | ( | 4 4 | ) | = | ( | 5 5 | ) | . |
Dále opakovaně použijeme poslední uvedenou vlastnost
| ( | n k | ) | + | ( | n k + 1 | ) | = | ( | n + 1 k + 1 | ) |
| ( | 4 4 | ) | + | ( | 5 4 | ) | + | ( | 6 4 | ) | + | ( | 7 4 | ) | + | ( | 8 4 | ) | =
|
| = | ( | 5 5 | ) | + | ( | 5 4 | ) | + | ( | 6 4 | ) | + | ( | 7 4 | ) | + | ( | 8 4 | ) | =
|
| = | ( | 6 5 | ) | + | ( | 6 4 | ) | + | ( | 7 4 | ) | + | ( | 8 4 | ) | =
|
| = | ( | 7 5 | ) | + | ( | 7 4 | ) | + | ( | 8 4 | ) | =
|
| = | ( | 8 5 | ) | + | ( | 8 4 | ) | =
|
| = | ( | 9 5 | ) |