Kombinační čísla

Pascalův trojúhelník

Pascalův trojúhelník je schéma, které dobře znázorňuje některé vlastnosti kombinačních čísel. Můžete se s ním setkat ve dvou tvarech.
(Najetím na prvek v libovolném z obou schémat se v obou schématech barevně označí odpovídající prvek.)

(

0
0

)

(

1
0

)

(

1
1

)

1 1

(

2
0

)

(

2
1

)

(

2
2

)

1 2 1

(

3
0

)

(

3
1

)

(

3
2

)

(

3
3

)

1 3 3 1

(

4
0

)

(

4
1

)

(

4
2

)

(

4
3

)

(

4
4

)

1 4 6 4 1

(

5
0

)

(

5
1

)

(

5
2

)

(

5
3

)

(

5
4

)

(

5
5

)

1 5 10 10 5 1

.................................

(

n
0

)

(

n
1

)

(

n
2

)

(

n
3

)

...

(

n
n − 2

)

(

n
n − 1

)

(

n
n

)

Schéma vlevo zobrazuje základní vztah Pascalova trojúhelníku s kombinačními čísly. Ve schématu vpravo jsou kombinační čísla vyčíslena a dají se v něm lépe vypozorovat některé jejich vlastnosti.

Příklad

Napište osmý řádek Pascalova trojúhelníku.

Řešení

První řádek je

(

0
0

)

Druhý řádek je

(

1
0

)

(

1
1

)

Třetí řádek je

(

2
0

)

(

2
1

)

(

2
2

)

…

Osmý řádek je

(

7
0

)

(

7
1

)

(

7
2

)

(

7
3

)

(

7
4

)

(

7
5

)

(

7
6

)

(

7
7

)

Z předchozího řešení můžeme odvodit, jak obecně vypadá n-tý řádek Pascalova trojúhelníku:

n-tý řádek Pascalova trojúhelníku má tvar

(

n − 1
0

)

(

n − 1
1

)

(

n − 1
2

)

(

n − 1
3

)

…

(

n − 1
n − 3

)

(

n − 1
n − 2

)

(

n − 1
n − 1

)

Skládá se tedy z n kombinačních čísel

(

n − 1
k

)

kde k nabývá postupně hodnoty 0, 1, …, (n − 1).

Příklad

Napište desátý řádek Pascalova trojúhelníku.

Výsledek

(

9
0

)

(

9
1

)

(

9
2

)

(

9
3

)

(

9
4

)

(

9
5

)

(

9
6

)

(

9
7

)

(

9
8

)

(

9
9

)

Všimněte si v Pascalově trojúhelníku symetrického rozmístění stejných čísel vzhledem k jeho ose souměrnosti. Je to dané tím, že čísla

(

n
k

)

(

n
n − k

)

která se sobě rovnají, jsou stejně vzdálena od "středu" každého řádku. V následujícím schématu se při najetí myši na některé kombinační číslo barevně označí i číslo, které je ve stejném řádku stejně vzdálené od osy souměrnosti.

(

0
0

)

(

1
0

)

(

1
1

)

1 1

(

2
0

)

(

2
1

)

(

2
2

)

1 2 1

(

3
0

)

(

3
1

)

(

3
2

)

(

3
3

)

1 3 3 1

(

4
0

)

(

4
1

)

(

4
2

)

(

4
3

)

(

4
4

)

1 4 6 4 1

(

5
0

)

(

5
1

)

(

5
2

)

(

5
3

)

(

5
4

)

(

5
5

)

1 5 10 10 5 1

.................................

(

n
0

)

(

n
1

)

(

n
2

)

(

n
3

)

...

(

n
n − 2

)

(

n
n − 1

)

(

n
n

)

Příklad

Dopište druhou polovinu dvanáctého řádku Pascalova trojúhelníku:
1 11 55 165 330 462 ....

Řešení

Dvanáctý řádek se skládá ze dvanácti čísel, vypsaných je prvních šest z nich. Protože jsou hodnoty v Pascalově trojúhelníku symetrické podle jeho osy souměrnosti, stačí prvních šest čísel opsat v opačném pořadí. Celý dvanáctý řádek Pascalova trojúhelníku tedy vypadá takto:
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1.

Další vlastnost kombinačních čísel, kterou můžeme vypozorovat v Pascalově trojúhelníku, je

(

n
k

)

(

n
k + 1

)

(

n + 1
k + 1

)

(

0
0

)

(

1
0

)

(

1
1

)

1 + 1

(

2
0

)

(

2
1

)

(

2
2

)

1 + 2 + 1

(

3
0

)

(

3
1

)

(

3
2

)

(

3
3

)

1 + 3 + 3 + 1

(

4
0

)

(

4
1

)

(

4
2

)

(

4
3

)

(

4
4

)

1 + 4 + 6 + 4 + 1

(

5
0

)

(

5
1

)

(

5
2

)

(

5
3

)

(

5
4

)

(

5
5

)

1 5 10 10 5 1

.................................

(

n
0

)

(

n
1

)

(

n
2

)

(

n
3

)

...

(

n
n − 2

)

(

n
n − 1

)

(

n
n

)

Příklad

Dvanáctý řádek Pascalova trojúhelníku má tvar
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1.
Odvoďte z něj následující (třináctý) řádek Pascalova trojúhelníku.

Řešení

Na začátku a na konci každého řádku Pascalova trojúhelníku je číslo 1. Ostatní čísla odvodíme pomocí vlastnosti

(

n
k

)

(

n
k + 1

)

(

n + 1
k + 1

)

Dvanáctý řádek:		1	+	11	+	55	+	165	+	330	+	462	+	462	+	330	+	165	+	55	+	11	+	1
Třináctý řádek:	1		12		66		220		495		792		924		792		495		220		66		12		1