Vlastnosti posloupností
Jelikož posloupnosti jsou pouze speciální typ funkce, vlastnosti a jejich definice vám jistě budou povědomé. U posloupností se ale většinou zkoumá pouze monotónnost a omezenost dané posloupnosti. Tím lépe, nebude toho tolik.
Monotónnost posloupnosti
1. rostoucí posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá rostoucí právě tehdy, když
![]() |
Pro zjišťování, zda je posloupnost rostoucí se nám bude více hodit následující věta. Bude řečena pouze pro nekonečnou posloupnost s definičním oborem N, po drobné úpravě by ovšem platila i pro konečné posloupnosti. U konečných posloupností je třeba dát pozor na "kraje" definičního oboru.
Věta: Posloupnost
je rostoucí
právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ -1, 1, 3, 5, 7, ... } | |
an = 5n2 - 13 | |
an = an-1 + 5 , a1 = 1 |
2. klesající posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá klesající právě tehdy, když
![]() |
Věta: Posloupnost
je
klesající
právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... } | |
an = 3/n2 + 1,3 | |
an+2 = 2an+1 - an , a1 = 1, a2 = 0 |
3. nerostoucí posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá nerostoucí právě tehdy, když
![]() |
Věta: Posloupnost
je
nerostoucí
právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ 1, 1, 1, 1, 1, ... } | |
an = 3/n2 + 1,3 | |
an+1 = an - 3, a1 = 1 |
4. neklesající posloupnost
Definice: Posloupnost (an) se nazývá neklesající právě tehdy, když
![]() |
Věta: Posloupnost
je
neklesající
právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, ... } | |
an = 2n | |
an+2 = an+1 + an, a1 = 1, a2 = 1 |
Omezenost posloupnosti
1. shora omezená posloupnost
Definice: Řekneme, že posloupnost (an) je shora omezená právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ 1, 0, -1, -2, -3, ... } | |
an = -2n | |
an = an-1 - 23 , a1 = 1 |
2. zdola omezená posloupnost
Definice: Řekneme, že posloupnost (an) je zdola omezená právě tehdy, když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ -1, 1, 3, 5, 7, ... } | |
an = 5n2 - 13 | |
an = an-1 + 5 , a1 = 1 |
3. omezená posloupnost
Definice: Řekneme, že posloupnost (an) je omezená právě tehdy, když je shora i zdola omezená, tedy když
![]() |
![]() |
Příklady:
{ -1, 1, -1, 1, -1, ... } | |
an = sin(n) | |
an+2 = (an+1 + an)/2, a1 = -1, a2 = 1 |
posloupnost rostoucí, klesající
1. Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou rostoucí, které klesající a které nejsou ani rostoucí ani klesající:
a) | ![]() |
![]() |
|
b) | ![]() |
![]() |
|
c) | ![]() |
![]() |