Spojitost funkce v bodě a na intervalu

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže

"e>0 $d>0 "xÎR platí xÎU(a,d) Þ f(x)ÎU(f(a),e)

Slovní popis: Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

    Obrázek:

 

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže

"e>0 $d>0 "xÎR platí xÎU-(a,d) Þ f(x)ÎU(f(a),e)

Slovní popis: Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zleva, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové levé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

    Obrázek:

 

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže

"e>0 $d>0 "xÎR platí xÎU+(a,d) Þ f(x)ÎU(f(a),e)

Slovní popis: Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě a zprava, jestliže k libovolně zvolenému okolí bodu f(a) existuje takové pravé okolí bodu a, že pro všechna x z tohoto okolí bodu a patří hodnoty f(x) do zvoleného okolí bodu f(a).

   Obrázek:  

 

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá v otevřeném intervalu (a,b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.

 

Definice:

Řekneme, že funkce f je spojitá v uzavřeném intervalu áa,bñ, je-li spojitá v (a,b) a v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva.

 


Několik příkladů pro lepší objasnění pojmu spojitost funkce v bodě.

f(x) = x

f je spojitá v 0

f(x) = ex

f je spojitá v 0

f(x) = x2

f je spojitá v 0

f(x) = 1 pro x=0

f(x) = x2 pro xÎR\{0}

f není spojitá v 0