Je dán bod S. Středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení S(S), které přiřazuje:
Červený bod je obrazem modrého bodu ve středové souměrnosti se středem v bodě S. Oba body mají zapnutou funkci zanechávání stopy.
Tažením modrého bodu zkuste namalovat různé objekty, ornamenty či písmena, která jsou středově souměrná.
Zkuste napsat své jméno (či jakýkoliv jiný text) červeně. Pozor, táhnout lze pouze modrým bodem.
Tento rys je obdobou rysů 2 a 3 z kapitoly Osová souměrnost. Tam lze nalézt další instrukce a poznámky použitelné i u tohoto rysu.
Máme dán bod S, přímku p a na ní bod X. Přímka p’ je obrazem přímky p ve středové souměrnosti se středem S, podobně bod X’ je obrazem bodu X.
Podle rysu se zdají být přímky p a p’ rovnoběžné.
Ověřte pro různé polohy p a S, jestli tomu tak je vždy. V Cabri Geometry můžete použít
nástroj pro ověření rovnoběžnosti -
.
Poté odpovězte na následující otázku:
Jaký je vztah mezi přímkou a jejím obrazem ve středové souměrnosti?
Ve středové souměrnosti je každá přímka rovnoběžná se svým obrazem.
Najděte a popište samodružné přímky středové souměrnosti
Ve středové souměrnosti se středem S jsou samodružné právě ty přímky, které prochází středem souměrnosti.
Umístěte přímku p tak, aby procházela bodem S (v Cabri alespoň přibližně). Splyne pak se svým obrazem p’, je tedy samodružná. Je samodružný i bod X, ležící na přímce p?
Bod X je samodružný, pouze pokud leží ve středu souměrnosti S.
Přímka je samodružná ve středová souměrnosti, prochází-li jejím středem. Taková přímka ovšem není přímkou samodružných bodů. Jediným samodružným bodem středové souměrnosti je střed této souměrnosti.
Rozšiřující úkol: Dokažte, že každá přímka je rovnoběžná se svým obrazem v libovolné středové souměrnosti.
Dokažte: Jestliže se v čtyřúhelníku jeho úhlopříčky půlí, pak je tento čtyřúhelník rovnoběžník.
Řešení:
Idea - protější strany takového čtyřúhelníka jsou středově souměrné podle S a tedy rovnoběžné.
Čtyřúhelník označíme ABCD. Protože se úhlopříčky půlí, jejich průsečík S je i středem každé z nich. Ve středové souměrnosti se středem S je bod C obrazem bodu A a bod D obrazem bodu B. Tím i celá úsečka CD je obrazem úsečky AB a podobně úsečka DA je obrazem úsečky BC. Protože přímka a její obraz ve středové souměrnosti jsou vždy rovnoběžné, jsou protější strany čtyřúhelníka ABCD rovnoběžné, je tedy rovnoběžník.
Jsou dány dvě soustředné kružnice k1(O,r1) a k2(O,r2), r1 > r2 a bod S leží na menší z nich. Sestrojte rovnoběžník se středem S jehož vrcholy leží na daných kružnicích.
Řešení:
Předpokládejme, že takový rovnoběžník ABCD existuje (viz rys). Jeho střed S je středem jeho úhlopříček, úseček AC a BD. Bod C je tedy obrazem bodu A ve středové souměrnosti se středem S, podobně bod D je obrazem bodu B.
Nechť A je vrchol, který leží na kružnici k2. Pak bod C musí ležet na k2’, obrazu kružnice k2 ve středové souměrnosti se středem S. Bod C tedy najdeme jako jeden z průsečíků kružnic k1 a k2’. Druhý průsečík je pak analogicky hledaný bod D. Pokud mají kružnice k1 a k2’ jeden nebo žádný průsečík, úloha nemá řešení.
Rozšiřující úkol: Podle rysu se zdá, že rovnoběžník ABCD je obdélník (sousední strany jsou na sebe kolmé)
Zkuste měnit situaci zadání (poloměry kružnic) a ověřte, zda si tuto
vlastnost zachovává. V Cabri Geometry můžete použít nástroj
pro ověření kolmosti (na liště nástrojů čtvrtá skupina zprava -
. Pokuste se výsledek zdůvodnit.
| [ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] |
Poslední úprava této stránky: 2016-02-11 Zoran Bonuš |