Je dán orientovaný úhel, jehož jedna velikost je α a bod S. Otočení (nebo také rotace) je shodné zobrazení R(S, α), které přiřazuje:
Poznámka: Terminologie této kapitoly vychází z pojmů zavedených v [1]. Cabri Geometry nezná pojem "orientovaný úhel". Otočení je v Cabri Geometry určeno svým středem a velikostí úhlu, přičemž kladná velikost úhlu otočení znamená otáčení v kladném smyslu, tedy proti směru hodinových ručiček, naopak záporná velikost odpovídá otáčení po směru hodinových ručiček, tedy v záporném smyslu.
Pokud je velikost úhlu určena změřením odchylky dvou polopřímek (jako v tomto rysu či rysu 1), velikost úhlu je vždy kladná. Navíc není jednoznačně určeno, který z úhlů svíraných polopřímkami se má měřit - zda "vnitřní" (konvexní) či "vnější" (nekonvexní). Cabri Geometry proto někdy zdánlivě nahodile volí jeden z nich (viz poznámka v úvodu kapitoly Úhly na kružnici). Na druhou stranu je tento způsob určení velikosti úhlu jednoduchý a intuitivní.
Někdy může být vhodnější zadávat velikost úhlu otočení přímo jako číslo (jako v rysu 2) či například pomocí souřadnice pohyblivého bodu.
Měňte velikost zadaného úhlu (tažením jeho zvýrazněného ramene). Popište dráhu vrcholu písmene "R".
Vrchol bodu "R" se pohybuje po kružnici se středem S.
Je dána přímka p, otočení O(S,α) a p’ jako obraz p v otočení O.
Měňte pozici středu otáčení, polohu přímky p a základní velikost úhlu otočení α. Velikost úhlu lze měnit posouváním zvýrazněného bodu po úsečce v rozsahu -360 až 360 stupňů.
Kdy jsou přímky p a p’ rovnoběžné?
Pokud je základní velikost otočení 0° nebo 180°.
Upravte rys tak, aby přímky p a p’ byly totožné. Kdy to může nastat?
Pokud je α = 0° nebo pokud p prochází bodem S a α = 180°.
Jak se mění odchylka přímek p a p’?
Pro |α| ≤ 90° odchylka přímek odpovídá |α| a pro |α| > 90° je odchylka rovna 180 - α.
Tmavě modrý trojúhelník s označeným vrcholem "A" pomocí několika otočení po 30° se stejným středem vytvoří následující symetrický obraz:
Měňte pozici a tvar tmavě modrého trojúhelníka ("A"). Velmi pěkné vzory a efekty vzniknou například kroužením celého trojúhelníka nebo jednoho z jeho vrcholů kolem středu kaleidoskopu.
Nakonec ještě obdobný kaleidoskop, tentokrát animovaný:
Je dán bod A a jeho obraz A’ v otočení O. Známe velikost úhlu otočení, ale neznáme jeho střed. Najděte jej.
Řešení:
Z definice zobrazení vyplývají dvě podmínky pro polohu středu:
Dokažte, že shodné tětivy dané kružnice k mají stejnou vzdálenost od jejího středu.
Řešení:
V otočení kolem středu S se zobrazí trojúhelník SAB na trojúhelník SCD, stejně tak bod O (střed strany AB) na O’ (střed strany CD). Z definice otočení vyplývá, že |SO| = |SO’|.
Poznámka: Příklad lze také řešit např. pomocí Pythagorovy věty.
Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky a a b a mimo ně bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby bod A ležel na přímce a a bod B ležel na přímce b.
Řešení:
Vyjdeme z toho, že řešení existuje. Protože trojúhelník ABC je rovnostranný, všechny jeho vnitřní úhly jsou 60°. Tedy otočením o 60° proti směru hodinových ručiček kolem bodu C se bod B zobrazí na bod A. Bod B leží na přímce b, jeho obraz, B’ = A tedy leží na přímce b’, obrazu přímky b podle stejného otočení. A protože bod A musí ze zadání ležet na přímce a, najdeme bod A jako průsečík přímek a a b’. Zbývající vrchol B pak najdeme např. otočením bodu A kolem bodu C o 60° po směru hodinových ručiček.
Úloha má vždy dvě řešení - druhé řešení je symetrické, přímku b otočíme kolem bodu C po směru hodinových ručiček. V obou případech jsou přímky a a b’ různoběžné a mají tedy průsečík.
Měňte zadané objekty a přesvědčete se, že úloha má vždy řešení.
| [ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] |
Poslední úprava této stránky: 2016-02-11 Zoran Bonuš |