Úhly příslušné k oblouku kružnice

Úvod

Tato kapitola obsahuje náměty pro výuku věnovanou úhlům příslušných k oblouku na kružnici (úhel obvodový, úhel středový, úhel úsekový) a Thaletově kružnici.

V Cabri Geometry lze dobře demonstrovat jednu ze základních planimetrických vět - o středovém a obvodovém úhlu včetně jejích důsledků. Při běžné výuce lze jen několika konstrukcemi vztahy naznačit nebo ponechat na představivosti či důvěře studentů. S pomocí dynamické geometrie lze tyto vlastnosti experimentálně zkoumat a objevovat přirozeným způsobem.

Poznámka: Úhel se v Cabri zadává třemi body ("rameno - vrchol - rameno"), přičemž se vyznačí konvexní úhel, který těmto bodům odpovídá. Pokud se pak pozice těchto bodů mění, je ve složitějších případech nejednoznačné, který z úhlů (konvexní nebo nekonvexní) se má vyznačit. Tak se může stát, že se zdánlivě nahodile jednou vyznačí konvexní a při podobné změně nekonvexní úhel.

To se týká zejména rysů otevřených v apletu CabriJava, kde nelze problém ani přímo odstranit. Často nezbude než konstrukci několikrát zkusmo pozměnit, dokud se nevyznačí ten úhel, který byl zamýšlen.

V Cabri Geometry se tento problém vyskytuje méně často a navíc má jednoduché řešení - značku úhlu stačí uchopit myší a přetáhnout ji přes vrchol. Tím lze místo konvexního úhlu vyznačit nekonvexní a naopak.

Rys 1 - Úhel obvodový

Je dána kružnice k, na ní jeden z kružnicových oblouků s hraničními body A a B a bod X tak, že X leží na k, ale neleží na oblouku AB.

Na rysu je vyznačen obvodový úhel AXB příslušný oblouku AB. Pohybujte bodem X po kružnici (mimo zvýrazněný oblouk AB). Jak se při tom mění velikost obvodového úhlu AXB?

Velikost obvodového úhlu AXB zůstává stejná.

Změňte oblouk AB (posunem bodu A po kružnici). Ověřte, že i pro tento oblouk zůstává velikost všech příslušných obvodových úhlů stejná.

Rys 2 - Úhel obvodový a středový

Stejné zadání jako v předchozím rysu, navíc je znázorněn středový úhel ASB a jeho velikost.

Měňte oblouk AB (posunem bodu A po kružnici). Jaká je závislost velikosti mezi velikostí úhlu obvodového a středového?

Velikost středového úhlu je dvojnásobkem velikosti úhlu obvodového.

Poznámka: Formální důkaz této základní planimetrické věty lze nalézt např. v [1].

Upravte oblouk tak, aby body ASB leželi v přímce (nejlépe vodorovné).

Velikost úhlu středového je v tomto případě:

180°.

Každý obvodový úhel AXB je tedy v této situaci vždy:

Pravý.

Poznámka: Při měření velikostí úhlu je třeba respektovat zaokrouhlovací chyby. Také je třeba dbát na to, aby oba vyznačené úhly odpovídali stejnému oblouku (viz poznámka v úvodu této kapitoly). Pokud se stane, že neodpovídají, mělo by stačit upravit oblouk nebo polohu bodu X.

Rys 3 - Thaletova kružnice

Je dána úsečka AB, přímka p procházející bodem A a přímka q procházející bodem B a kolmá na přímku p. Průsečík přímek p a q je označen C.

Úhel ACB je ze zadání pravý a jeho ramena prochází body A a B. Pozice jeho vrcholu (bodu C) závisí na směru přímky p, který může být zvolen libovolně. Uchopte přímku p mimo bod A a pohybem myši měňte její směr. Po jaké dráze se přitom pohybuje vrchol pravého úhlu C? (Pro názornost má zapnutou stopu.)

Vrchol C se pohybuje po kružnici, jejímž průměrem je úsečka AB.

Posuňte stav konstrukce o krok vpřed - zobrazí se kružnice sestrojená s úsečkou AB jako průměrem. Znovu vytvořte stopu bodu C a ověřte, že se skutečně kryje s kružnicí.

Poznámka: Tento rys může posloužit jako motivace k celé kapitole.

Rys 4 - Úhel úsekový

Je dána kružnice k se středem S, na ní oblouk AB. Přímka p je tečnou kružnice k v bodě A. Konvexní úhel svíraný úsečkou AB a přímkou p se nazývá úsekový úhel (vzhledem k oblouku AB).

Pohybujte bodem A po kružnici, tím se bude měnit oblouk AB. Jaká je závislost mezi úhlem úsekovým a úhlem středovým?

Velikost středového úhlu je dvojnásobkem velikosti obvodového úhlu.

Dokažte tuto závislost.

Nápověda: Určete velikosti vnitřních úhlů trojúhelníka AXS, kde X je středem úsečky AB.

Jaký je vztah mezi úsekovým úhlem a libovolným obvodovým úhlem příslušných k témuž oblouku? Všimněte si například na rysu 1 co se stane, přesuneme-li bod X (vrchol úhlu obvodového) blízko bodu A nebo B.

Úhel úsekový je shodný s úhlem obvodovým.

Úloha 1

Dokažte, že osa středového úhlu a osy všech obvodových úhlu příslušných k témuž oblouku se protínají v jednom bodě, který leží na tomto oblouku.

Vyzkoušejte pohybovat bodem X a přesvědčete se, že osy obvodového a středového úhlu se skutečně vždy protnou na příslušném oblouku.

Nápověda: Ukažte, že bod C, průsečík osy středového úhlu a kružnice, leží současně i na ose úhlu AXB. (Úhly AXC a CXB jsou shodné, protože jim odpovídají středové úhly ASC a CSB, které jsou shodné.)

Úloha 2

Dokažte: Kružnice, jejichž průměry jsou odvěsny pravoúhlého trojúhelníka, se protínají na přeponě.

Nápověda: Úhly APC a APB jsou pravé (Thaletovy kružnice).

Poznámka: Zřejmě obdobně platí i pro trojúhelník, který není pravoúhlý, kružnice se ale nemusí protnout přímo na straně BC, ale obecně na přímce BC.

Úloha 3 - Hodiny

Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku hodinek 1,6 a 5,8 hodin, jsou na sebe kolmé.

Nápověda: Určete velikosti zbývajících úhlů v trojúhelníku 8X1, kde X je průsečík daných spojnic. Znáte velikosti jim odpovídajících středových úhlů (1 hodina = 30°). Konstrukci lze posunout o několik kroků vpřed a zobrazit tak pomocný trojúhelník.