Zadání posloupnosti

Posloupnost je možné zadat různými způsoby:

1.Výčet hodnot

Tento způsob je vhodný hlavně pro konečné posloupnosti nebo pro posloupnosti, kde je z prvních několika členů na první pohled vidět závislost, podle které lze určit členy následující.

Příklady:

	n 1 2 3 4 5 an 8 -3 1,5 0 26

2.Graf

Zadání posloupnosti grafem je podobné jako zadání výčtem hodnot. Jeho nevýhodou je nepřesnost. Stejně jako u výčtu lze zadat pouze konečné množství hodnot a navíc ne vždy lze z grafu hodnoty vyčíst přesně. Naopak výhodou grafů je jejich názornost.

Příklady:

		Tento graf může být zadáním posloupnosti
		Tento graf může být zadáním posloupnosti

3. Vzorec pro n-tý člen

Vzorec pro n -tý člen vyjadřuje vztah mezi hodnotou n z definičního oboru a a_n z oboru hodnot. Dosazením hodnoty n do tohoto vzorce lze tedy okamžitě zjistit n -tý člen posloupnosti.

Příklady:

Není-li řečeno jinak, n nabývá všech hodnot z N

4. Rekurentní vzorec

Rekurentní vzorec určuje člen posloupnosti pomocí znalosti jednoho nebo více předcházejících členů. Pozor ! Součástí každého rekurentního vzorce musí být zadání prvního, případně několika prvních členů posloupnosti.
Nevýhodou zadání pomocí rekurentního vzorce je to, že libovolný člen posloupnosti můžeme určit jen tehdy, pokud známe členy předcházející. Což, pokud chceme určit např. 109. člen, je trochu nepříjemné.

Příklady:

	an= an-1 + 5 ,  a1 = 1        představuje     { 1, 6, 11, 16, ... }
	an+1= an - 1/2 ,  a1 = 5     představuje     { 5, 9/2, 4, 7/2, ... }
	an+2= 2an+1 - an ,  a1 = 1, a2 = 0      představuje     { 1, 0, -1, -2, ... }

Převod mezi jednotlivými vyjádřeními

Různé možnosti zadání stejné posloupnosti vyžadují možnost převodu jednoho vyjádření na druhé.

Některé jsou velice jednoduché, ...

... některé jsou o něco méně jednoduché ...

V těchto případech je potřeba závislost odhadnout. Pokud je však nekonečná posloupnost zadaná výčtem hodnot, je potřeba, jak již bylo řečeno, aby závislost byla na první pohled vidět.

Příklad:

... a některé se mohou zdát na první pohled složitější.

Pokud chceme převést vzorec pro n-tý člen na rekurentní vzorec, můžeme na to jít více způsoby. Zde platí, že více způsobů většinou vede na více řešení. Rekurentních vzorců pro jednu posloupnost je mnoho, na konci si stačí jen vybrat.

Mnohdy nejjednodušší způsob je řešení opět pouze odhadnout. Většinou stačí si vypsat pár prvních členů a rekurentní závislost je na světě. Pokud však ani po dlouhém zkoumání nic nevidíte, nepropadejte panice, existují i prozaičtější způsoby řešení. Mnohé řekne zkoumání podílu (případně rozdílu) sousedních dvou členů.

Příklad:

a_n = n² + 1   -----> { 2, 5, 10, 17, 26, ..., n²+1, (n+1)²+1, ... }

	- odhad:
		an+1 = an + (2n + 1) ,  a1 = 2
	- rozdíl sousedních členů: an+1 - an
		an+1 - an	= [(n+1)2+1] - (n2+1) = n2 + 2n + 1 + 1 - n2-1 = 2n + 1	, a odtud
		an+1 = an + (2n + 1) ,  a1 = 2
	- podíl sousedních členů: an+1 / an
		an+1 / an	= [(n+1)2+1] / (n2+1) = (n2 + 2n + 2) / (n2+1)	, a odtud

Je vidět, že třemi různými postupy jsme získali postupně dvě různá řešení. Také je vidět, že zde bylo lepší zkoumat rozdíl než podíl. Vhodnější postup se dá určit do jisté míry už na začátku. Pokud vzorec pro n-tý člen "obsahuje násobení", je většinou lepší dělit, pokud "obsahuje pouze sčítání a odčítání", je lepší odčítat.

I v tomto případě je nejjednodušší způsob, jak získat příslušné vyjádření, odhad. I zde je ale záchrana, pokud se nám odhadnout řešení nedaří. Postup bude nejlépe vidět na příkladě.

Příklady:

a_n+1 = a_n + 5 , a₁ = 1   ----->  { 1, 6, 11, 16, ... }

Ne vždy si pomůžeme sčítáním. Někdy je lepší rovnosti vynásobit.

a_n+1 = 3a_n,  a₁ = 1   ----->  { 1, 3, 9, 27, ... }

Odkazy na cizí stránky zabývající se tímto tématem:

		- vypíše prvních n členů posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen - vykreslí graf zadané posloupnosti
		- vypíše prvních n členů posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen
		- příklady: n-tý člen posloupnosti
		- vypíše prvních n členů rekurentně zadané posloupnosti
		- příklady: rekurentně zadaná posloupnost

Příklady

Členy posloupnosti

1. Určete k-tý člen posloupnosti:

	a)	k = 6
	b)	an = n.2-n k = 4
	c)	a1 = -3 a2 = -1 an+2 = 2an+1 - an k = 5

Převod mezi různými zadáními posloupnosti

2. Posloupnost je dána rekurentně. Určete vzorec pro n-tý člen této posloupnosti:

	a)	a1 = 5 an+1 = an + 4
	b)	a1 = 1 a2 = 3 an = 4an-1 - 3an-2