Zadání posloupnosti - příklady

Členy posloupnosti

 1. Určete k -tý člen posloupnosti:  

 

Řešení: 

   

   k = 6  

 

Tato posloupnost je zadána pouze výčtem několika prvních členů. Pokud tedy chceme znát některý z následujících členů, potřebujeme odhadnout závislost mezi těmi zadanými.

 

 an = n.2-n 

 k = 4

 

Tato posloupnost je zadána vzorcem pro n -tý člen. Čtvrtý člen tedy získáme tak, že do vzorce za n dosadíme 4 .

 

 a1 = -3

 a2 = -1

 an+2 = 2an+1 - an  

 k = 5

 

Tato posloupnost je zadána rekurentně pomocí předcházejících dvou členů. Pokud chceme získat pátý člen, potřebujeme znát třetí a čtvrtý. Ovšem abychom získali například čtvrtý člen, potřebujeme opět potřebujeme dva předcházející. Nezbude tady nic jiného, než spočítat všechny předcházející členy.

 

 

Převod mezi různými zadáními posloupnosti

 2. Posloupnost je dána rekurentně. Určete vzorec pro n -tý člen této posloupnosti:  

 

Řešení: 

Vzorec pro n-tý člen lze určit více způsoby. Zdá se, že nejjednodušší je ho uhádnout. Takovýto postup ale potom vyžaduje důkaz správnosti tohoto odhadu. Jiná možnost je například zvolit postup popsaný v teoretické části. Na každém příkladu si ukážeme jiný postup.

 

 a1 = 5

 an+1 = an + 4 

 

Tento příklad je jako stvořený právě pro postup uvedený v teoretické části.

 

 

a1 = 1

a2 = 3

an = 4an -1 - 3an-2

 

V tomto případě by nám minulý postup příliš nepomohl. Zkusíme řešení tedy uhádnout, a poté dokázat jeho správnost.