Výuka logiky
Úvod
Kapitoly
Nápověda
Testy
Notice: Use of undefined constant nazev - assumed 'nazev' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/moravecdp/uvod-anonym.incl on line 82 Notice: Use of undefined constant nazev - assumed 'nazev' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/moravecdp/uvod-anonym.incl on line 82 Notice: Use of undefined constant nazev - assumed 'nazev' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/moravecdp/uvod-anonym.incl on line 82 Notice: Use of undefined constant nazev - assumed 'nazev' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/moravecdp/uvod-anonym.incl on line 82 Notice: Use of undefined constant nazev - assumed 'nazev' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/moravecdp/uvod-anonym.incl on line 82
NAHORU

Výroky

Výrok

První termín z matematické logiky, kterým se budeme zabývat, je takzvaný výrok:

Za výrok budeme považovat jakékoli tvrzení, u kterého má smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé (podle toho pak výrok budeme nazývat pravdivým nebo nepravdivým).

Zároveň je nutné dodat, že tato tvrzení budeme zkoumat samostatně, bez souvislosti s případným kontextem. Každé tvrzení pro nás bude samostatným celkem. Je dobré si uvědomit, že není nutné okamžitě vědět, zda je dané tvrzení pravdivé nebo nepravdivé, abychom o něm řekli, že se jedná o výrok. Musí ale být smysluplné zabývat se otázkou pravdivosti tohoto tvrzení (v dalším textu si ukážeme tvrzení, kde to smysluplné není), jinak řečeno musí existovat cesta, jak se k pravdivosti tvrzení dobrat.

Vše si nejdříve vysvětlíme na větách z běžného života a postupně přejdeme i k větám matematickým, které nám umožní přesněji formulovat, co je pravda nebo nepravda (slovo lež se v matematické logice nepoužívá). Nejdříve si ale ukážeme několik příkladů:

Večeře
Večeře
  1. „V roce 1998 získala hokejová reprezentace České republiky zlatou medaili na olympijských hrách v Naganu.“
    Uvedená věta je výrokem. Dokonce je pravdivým výrokem, jehož pravdivost si můžeme snadno ověřit nahlédnutím do historických sportovních tabulek.
  2. „Český král a římskoněmecký císař Karel IV. vládl v 18. století.“
    I tato věta je výrok. Samozřejmě je to výrok nepravdivý, to všichni známe z dějepisu.
  3. „4 < 5“
    Opět máme před sebou výrok. Ačkoli tak na první pohled nemusí vypadat, jedná se vlastně o zkrácený zápis jednoduché věty, která říká: „Číslo čtyři je menší než číslo pět.“ Taková věta je samozřejmě pravdivá.
  4. „Sedni si!“
    Výše uvedené tvrzení je větou rozkazovací. U rozkazu ale nemá smysl hovořit o pravdivosti. Můžeme uvažovat pouze o tom, zda bude či nebude splněn, ale to nesouvisí s pravdivostí. Je to tedy první příklad tvrzení, které není výrokem.
  5. „Co je dnes k večeři?“
    Při hlubším zamyšlení zjistíme, že ani u otázek nemá valný smysl zabývat se jejich pravdivostí. Něco jiného by byly odpovědi na otázky. Tato věta také není výrokem.
  6. „Ať se máme všichni dobře!“
    Z jazykového hlediska je tento celek větou přací. Ani u vět přacích však nemá smysl ptát se na jejich pravdivost. Opět se můžeme maximálně ptát, zda se nám přání splní.

Prohlédneme-li si předchozí příklady, zjistíme, že jediný typ jednoduché věty (souvětí prozatím ponechme stranou), který připadá v úvahu jako výrok, je věta oznamovací. Rozkaz, otázka ani věta přací výrokem být nemohou. To však neznamená, že všechny oznamovací věty jsou výroky. Projděme si další příklady:

  1. „Učitel drží v ruce křídu.“
    Při prvním pohledu bychom se mohli nechat unést myšlenkou, že jde o výrok – vždyť se stačí na učitele podívat a hned víme, zda křídu skutečně drží. Zde narážíme na první rozdíl mezi běžným a matematickým jazykem. Na začátku jsme si zapověděli uvažovat posuzovaná tvrzení v jakémkoli kontextu. Řekli jsme si, že tvrzení budeme posuzovat jako samostatné celky. V takové situaci ovšem nemůžeme vědět, o kterém z milionů učitelů se tato věta vyjadřuje. To by v běžném jazyce vyplynulo právě z kontextu, který jsme si zakázali. Nemá tedy smysl zabývat se pravdivostí tohoto tvrzení, protože nikdy nebudeme vědět, na kterého z učitelů se podívat. Věty obsahující takový „nezjistitelný“ prvek nebudeme za výroky považovat.
  2. „x > 10“
    Přečteme-li si tento matematický zápis, dostaneme opět oznamovací větu. Ale co máme dosadit za x? To nevíme. Věta tedy opět není dostatečně přesná. Abychom mohli hovořit o pravdivosti takové věty, museli bychom vzít v úvahu nějaké další dodatečné informace, ale to jsme si zakázali.

Pravdivostní ohodnocení výroku

Když o nějakém výroku výroku řekneme, že je pravdivý nebo nepravdivý, znamená to, že jsme tomuto výroku přiřadili pravdivostní ohodnocení.

Pravdivostní ohodnocení výroku říká, zda je výrok pravdivý či nepravdivý.

Často se pro zkrácení zápisu používá číselné vyjádření pravdivostního ohodnocení, tedy číslo 1 pro pravdu a číslo 0 pro nepravdu. Proč vůbec něco takového děláme? Především se nám to bude hodit později, ale už teď si můžeme ukázat příklad použití (byť trochu umělý). Uvažujme větu:

„V Dolních Dunajovicích právě teď prší.“

U takové věty umíme jistě rozhodnout, zda je nebo není pravdivá (stačí si do uvedené vesnice zavolat), a můžeme ji tedy považovat za výrok. Ale jeho pravdivost se mění podle počasí. Pokud bychom s tímto výrokem měli dále pracovat, potřebovali bychom vědět, zda je či není pravdivý. Pro snadný záznam této skutečnosti se hodí právě pravdivostní ohodnocení. Ukažme si několik dalších příkladů zápisu pravdivostního ohodnocení číslem, tentokrát výroků, jejichž pravdivostní hodnota se nemění:

Trzení: Ohodnocení:
„Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“ 1
„Slovo rostlina označuje totéž, co slovo živočich.“ 0
„Evropská unie má více než 15 členských zemí.“ 1
„Československá televize začala vysílat v roce 1953.“ 1
„Nejvyšší povolená rychlost vozidel v obci je v ČR stanovena na 90km/h.“ 0
„Demokracie je totalitní zřízení.“ 0
„Posvátnou knihou muslimů je Korán.“ 1
„Číslo 3 patří do množiny reálných čísel.“ 1
„5,12 = 18,1“ 0
„−5 + 3 < 154“ 1
„Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice je ekvivalentní úpravou.“ 1

Negace výroku

Velmi často v matematické logice potřebujeme k danému výroku nalézt výrok, který tvrdí přesný opak. K tomu slouží negace.

Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá pravdivost výroku původního.

Negace výroku je tedy jeho „pravý opak“, který vylučuje platnost původního výroku. Pravdivostní ohodnocení negace výroku musí být vždy opačné než pravdivostní ohodnocení původního výroku. Nejjednodušším způsobem, jak z výroku vyrobit jeho negaci, je přidat na začátek daného výroku formulaci: „Není pravda, že…“ Další možností je ovšem vytvoření nového výroku s opačnou „pravdivostí“. Pokud vyrábíme z výroku jeho negaci, říkáme, že výrok negujeme. Ukázka na příkladech nám pomůže k lepšímu porozumění pojmu negace:

Výrok: Negace:
„Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“ „Není pravda, že na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“
„Na státní vlajce České republiky není modrý trojúhelník.“
„Číslo 1 je záporné.“ „Není pravda, že číslo 1 je záporné.“
„Číslo 1 není záporné.“
„Číslo 1 je nezáporné.“
„Číslo 0,5 patří do množiny celých čísel.“ „Není pravda, že číslo 0,5 patří do množiny celých čísel."
„Číslo 0,5 nepatří do množiny celých čísel.“
„V Dobřichovicích je právě teď bezvětří.“ „Není pravda, že v Dobřichovicích je právě teď bezvětří."
„V Dobřichovicích není právě teď bezvětří.“
„V Dobřichovicích právě teď vane vítr.“
„V Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo.“ „Není pravda, že v Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo.“
„V Praze na Žižkově včera ve 13:00 nepršelo.“

Všimněme si, že pravdivost výroků v posledním řádku tabulky je proměnlivá s počasím, ale přesto jsme dokázali vytvořit negaci. Tvorba negací tedy nezávisí na pravdivostním ohodnocení původního výroku. Proč jsme nepoužili negaci ve tvaru „V Praze na Žižkově včera ve 13:00 svítilo slunce.“? Takový výrok by totiž nebyl negací výroku původního. Představme si situaci, kdy by na Žižkově ve zmiňované době bylo zataženo, ale bez deště. V takovém případě by původní výrok i uvedený návrh negace byly nepravdivé. Ale my jsme si řekli, že výrok a jeho negace musí mít vždy navzájem opačné pravdivostní ohodnocení.

Ještě bychom si měli říci, co nastane, jestliže výrok znegujeme dvakrát za sebou. Pak se dostaneme k původnímu výroku, u kterého jsme s negováním začínali. Popřeme-li totiž negaci výroku, dostáváme výrok původní.

Značení

Zatím jsme hovořili pouze o konkrétních výrocích. Pokud jsme na ně potřebovali odkázat, používali jsme výrazy jako „poslední výrok v tabulce“ a podobně. To je poněkud zdlouhavé a navíc některá pravidla potřebujeme vyjádřit obecně pro všechny výroky. Dohodněme se tedy, že pro značení výroků budeme používat velká tiskací písmena většinou ze  začátku abecedy. Pak můžeme říci, že máme nějaký výrok A, a pod tímto jménem o něm dále hovořit. A jak zapíšeme, že pravdivostní ohodnocení výroku A je 1? Následovně: v(A) = 1. Pro označení ohodnocení výroku tedy budeme používat malé v.

Ještě jsme v této kapitole mluvili o negaci výroku. I ta má své značení. Používají se různé značky, my pro negaci výroku A budeme používat následující zápis: „¬A“.

Co už bychom měli znát?