Na první pohled je zjevné, že definice limity
se liší podle toho,
zda c a A jsou reálná čísla nebo nevlastní body. To způsobuje
určité problémy při důkazu některých vět o limitách, neboť je nutné dokazovat
každý případ zvlášť. Řešením těchto obtíží může být taková definice limity
funkce, která nebude rozlišovat, zda c a A jsou reálná čísla nebo
nevlastní body. Taková definice skutečně existuje. Abychom ji však mohli
používat, musíme rozšířit definici okolí bodu i pro nevlastní body (tj. pro +Ą
a -Ą).
V následujících definicích je e ÎR, e>0.
Definice:
Epsilonovým okolím bodu +Ą rozumíme množinu {xÎR| 1/e<x}.
Značíme: U(+Ą,e)
Obrázek
|
Definice:
Epsilonovým okolím bodu -Ą rozumíme množinu {xÎR| x<-1/e}.
Značíme: U(-Ą,e)
Obrázek
|
Definice:
Prstencovým epsilonovým okolím bodu +Ą rozumíme množinu {xÎR| 1/e<x}.
Značíme: P(+Ą,e)
Obrázek
|
Definice:
Prstencovým epsilonovým okolím bodu -Ą rozumíme množinu {xÎR| x<-1/e}.
Značíme: P(-Ą,e)
Obrázek
|
|
Příklady:
P(-Ą,2) = {xÎR| x<-1/2} = (-Ą,-1/2) U(+Ą,2) = {xÎR| 1/2<x} = (1/2,+Ą) U(+Ą,0.1) = {xÎR| 10<x} = (10,+Ą)
|
|
Proč je v definicích použito 1/e ? Důvod je tento: Pro okolí vlastního bodu platí, že pro menší hodnotu epsilon získáme podmnožinu předchozího okolí. Např. P(a,1) Ě P(a,2). Stejnou vlastnost požadujeme i od okolí nevlastního bodu. A proto je v definici použito 1/e. Př. U(+Ą,0.1) Ě U(+Ą,2). |
U(+Ą,e) = P(+Ą,e) = {xÎR| 1/e<x} |
U(-Ą,e) = P(-Ą,e) = {xÎR| x<-1/e} |
Limitu funkce f pak můžeme definovat bez ohledu na skutečnost, zda c a A jsou reálná čísla nebo nevlastní body.
Definice:
Řekneme, že funkce f má v bodě c limitu A právě tehdy, když
"e>0 $d>0 "xÎR platí xÎ P(c,d) Ţ f(x)ÎU(A,e)
|
Čísla c
a A mohou být reálná či +Ą
nebo
-Ą. |