Tvrzení:
![]() ![]() |
Důkaz:
Tvrzení je ekvivalencí, proto musíme dokázat dvě implikace.
Dokažme
Þ
Ù
Nechť je dáno
e >0. Z předpokladuplyne
$d>0 "x xÎP(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e
Z toho vyplývá, že pro dané e
$d>0 "x xÎP+(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e
$d>0 "x xÎP-(c,d) Þ A-e < f(x) < A+e
a tedy, že
a
Obr.
Dokažme
Ù
Þ
2>0 "x xÎP+(c,d2) Þ A-e < f(x) < A+eNechť je dáno e >0. Z předpokladů
a
plyne
$d1>0 "x xÎP-(c,d1) Þ A-e < f(x) < A+e
$d
Definujme d, d = min(d1,d2).
Pak pro každé xÎP(c,d) platí A-e < f(x) < A+e
a tedy
skutečně
Obr.
Konec důkazu.