Sestrojte kuželosečku, je-li dáno jedno ohnisko F a dvě tečny t1, t2 a velikost hlavní osy a, viz obrázek 1.
Tento příklad je opět ve složce Priklady/Priklad8.obr. Po otevření se objeví zadání jako na obrázku 1.
Zde máme volbu zda budeme využívat řídící kružnice d nebo vrcholové kružnice v. Pokud bychom sestrojovali řídící kružnici v(S, 2a), pak sestrojíme body Q1, Q2, tj. body souměrně sdružené s ohniskem F podle jednotlivých tečen. My ale zde zvolíme druhý postup.
Vedeme kolmice bodem F na obě tečny. Nalezneme průsečíky těchto kolmic s jednotlivými tečnami, tj. vzniknout nám dva body A, B, viz obrázek 2. Získali jsme hledané body, které leží na vrcholové kružnici.
Hledáme kružnici, pro kterou platí, že její střed je střed kuželosečky, elipsy nebo hyperboly, a její poloměr je roven velikosti hlavní osy a. Na této kružnici leží průsečíky tečen a kolmic z bodu F na tečny, proto zde leží i právě nalezené body A, B.
Nyní máme tedy úlohu nalézt kružnici, která prochází body A, B a má daný poloměr a. Sestrojíme kružnici d (B, a) a kružnici e(A, a). Na průsečíku kružnic d, e nalezneme hledané středy vrcholových kružnic. Tyto body jsou dva, jak je vidět i na obrázku 2. Nalezli jsme středy vrcholových kružnic a máme tedy i střed dvou kuželoseček.
Sestrojení druhého ohniska je jednoduché, stačí pouze prodloužit hlavní osu a sestrojit kružnici se středem ve středu kuželosečky o poloměru |CF|, resp. |DF|, tj. excentricita. Průsečík této kružnice a hlavní osy je druhé ohnisko.
Sestrojení hlavních vrcholů, je také poměrně jednoduché, neboť leží na již nalezené vrcholové kružnici. Sestrojíme tedy kružnice j(D, a) a k(C, a), viz obrázek 3. Na průsečíku kružnice j a f, hlavní osy první kuželosečky dostáváme body H, I. Analogicky pro druhou kuželosečku dostáváme body K, J, které vznikají jako průsečíky kružnice k a hlavní osy g.
Nalezli jsme hlavní vrcholy a můžeme tedy diskutovat jaké jsme získali kuželosečky, neboť pro sestrojení vedlejších vrcholů potřebujeme znát typ kuželosečky.
Pokud se podíváme na první kuželosečku, na obrázku 3 tu více vlevo, všimneme si, že hlavní vrcholy, tj. body H, I leží blíže středu než ohniska, tj. body E, F. Platí a < e. První kuželosečka je tedy hyperbola.
Vedlejší vrcholy, tedy sestrojíme pomocí kružnice l (H,|ED|), tj. kružnice se středem v jednom z vrcholů a poloměrem velikosti excentricity. Nyní sestrojíme vedlejší osu hyperboly, která je kolmá na hlavní osu a prochází středem kuželosečky. Sestrojíme přímku m. Vedlejší vrcholy nyní nalezneme jako průsečíky kružnice l a přímky m, dostáváme body M, L, viz 4.
Nyní se podíváme na druhou kuželosečku, která je na obrázku 3 více vpravo. Zde jsou hlavní vrcholy J, K a ohniska F, G v opačném pořadí, než u hyperboly. Platí, že |FC| < |JC|, tj e < a. Dostáváme v tomto případě elipsu.
Pro sestrojení vedlejších vrcholů použijeme přímku n a kružnici o(G, a). Vedlejší vrcholy, pak leží na průsečíku přímky n a kružnice o, viz obrázek 5. Dostáváme body N, O.
Můžeme tedy vykreslit samotné kuželosečky, elipsu a hyperbolu, viz obrázek 6.
Nyní zbývá pouze sestrojení bodů dotyku, které se sestrojují u elipsy a hyperboly shodně. Nalezneme je na průsečíku příslušné tečny a přímky spojující druhé ohnisko s bodem Q z definice řídící kružnice.
Využijeme přímek b, c, pomocí kterých jsme sestrojovali paty kolmic. Tyto přímky prodloužíme do druhé poloroviny dané tečnami. Sestrojíme bod P tak, aby platilo |PA| = |FA| a analogicky bod Q, že platí |QB| = |BF|. Body P, Q jsou hledané body souměrně sdružené podle tečen s ohniskem F.
Sestrojíme přímku u danou body P, G a přímku v danou body Q, G. Průsečík přímky u a tečny t1 je bod R, bod dotyku tečny t1 s elipsou. Bod dotyku S tečny t2 získáme jako průsečík této tečny a přímky v. Jako je na obrázku 7.
Jak již bylo řečeno, body dotyku hyperboly se hledají stejně jako u elipsy. Proto sestrojíme přímky V, W procházející bodem E a po řadě body P, Q. Na průsečíku přímky v a tečny t1 leží bod T, bod dotyku tečny t1. Dotykový bod U tečny t2 s hyperbolou nalezneme jako průsečík přímky w a této tečny, viz obrázek 7. Nyní bychom měli mít na rýsovací ploše to co je na obrázku 8.