7. příklad

Zadání:

Sestrojte elipsu, je-li dáno jedno ohnisko F a tři tečny t1, t2, t3.

Řešení:

  1. Vedeme kolmice na jednotlivé tečny t1, t2 a t3, tedy přímky a, b a c.

  2. Nyní máme dvě možnosti jak dále pokračovat. Můžeme využít tzv. pat kolmic spuštěných z ohniska na tečny a nebo bodů souměrných podle tečny s jedním ohniskem.

  3. Nejdříve si ukážeme první způsob:

    1. Označíme si průsečíky kolmic a, b, c po řadě s jednotlivými tečnami t1, t2, t3, získáme body A, B, C.

    2. Tyto body leží na kružnici, kterou značíme v a je definována v(S, a), kde S je střed elipsy a a je velikost hlavní poloosy. Hledáme tedy kružnici resp. její střed, která prochází body A, B, C. Sestrojíme proto osy úseček daných body A, B, C. Na průsečíků těchto os nalezneme hledaný střed kružnice. Označíme jej D.

    3. Dostáváme se tedy do situace, kdy máme elipsu danou ohniskem, středem a velikostí hlavní poloosy, kterou nalezneme jako vzdálenost středu a libovolného bodu z bodů A, B, C, tj |AD| = |BD| = |CD|.

    4. Pro nalezení dalších bodů elipsy využijeme přenášení vzdáleností. Druhé ohnisko je souměrně sdružené podle středu s druhým ohniskem. Hlavní vrcholy nalezneme na průsečíku hlavní osy, která je určena ohnisky a středem, a kružnice se středem D, tj. střed elipsy, a poloměrem hlavní poloosy. Vedlejší vrcholy leží na vedlejší ose, která je kolmá na hlavní osu procházející středem elipsy. Dále leží na kružnici se středem v jednom z ohnisek a poloměrem rovným velikosti hlavní poloosy.

  4. Nyní si ukážeme druhý způsob:

    1. Využijeme bodů souměrně sdružených podle jednoho ohniska podle tečny.

    2. Tyto body nalezneme na kolmicích a, b, c a platí pro ně, že |DA| = |AF|, |EB| = |BF| a |GC| = |CF|.

    3. Nalezené body D, E, G leží na řídicí kružnici se středem v druhém ohnisku, tj. ne v bodě F. Tedy opět nalezneme středy stran trojúhelníka s vrcholy D, E, G. Na průsečíku těchto os nalezneme druhé ohnisko elipsy, bod H.

    4. Nyní máme elipsy zadanou dvěma ohnisky a velikostí hlavní osy, která je rovna polovině vzdálenosti |HD|, resp. |HE| nebo |HG|. Sestrojení dalších bodů je již podobné první části, jen musíme najít střed elipsy, který je shodný se středem úsečky dané ohnisky. Nyní postupujeme shodně jako výše.

  5. Poslední krok je vykreslení elipsy, neboť jsme našli všechny důležité body.