Notice: Use of undefined constant default_charset - assumed 'default_charset' in /srv/beegfs/web/web/kdm/diplomky/cabri/config.php on line 1 Geometrie zive

Geometrie zive - logo

Trojúhelníky

Úvod

Tato kapitola obsahuje rysy, které mohou posloužit jako námět pro využití dynamické geometrie při výuce věnované vlastnostem trojúhelníků.

Výhod dynamické geometrie lze využít zejména pro objevování takových vlastností, jako je např. společný průsečík výšek, os úhlů, těžnic a podobně. Student může při experimentování sám tyto vlastnosti vypozorovat a pochopit hlouběji, než při běžném výkladu.

Pro usnadnění tvorby vlastních konstrukcí je pak připraveno několik užitečných maker (viz seznam na konci kapitoly).

Rys 1 - Výšky

Je dán trojúhelník ABC. Jeho výšky jsou označeny va, vb a vc a paty těchto výšek Pa, Pb a Pc. Průsečík přímek obsahující výšky va a vb je označen O.

otevři rys v CabriJava

Podle obrázku se zdá, že bod O leží i na přímce obsahující výšku vc. Pohybujte vrcholy trojúhelníka ABC a ověřte, zda bod O skutečně na této přímce leží i pro jiné tvary trojúhelníka. V Cabri Geometry můžete použít nástroj "na objektu".

Všechny tři přímky, v nichž leží výšky trojúhelníka, se protnou v jediném bodě. Tento bod se nazývá průsečík výšek, neboli ortocentrum.

Poznámka: Důkaz této vlastnosti viz např. [1], článek 3.9. (pomocí stejnolehlosti).

Experimentujte s tvarem trojúhelníka a odpovězte na následující otázky.

Může ortocentrum (bod O) ležet i vně trojúhelníka ABC?

Ano, je-li trojúhelník ABC tupoúhlý, jeho ortocentrum leží vně něj.

Kdy nastane případ, že ortocentrum trojúhelníka leží na některé jeho straně?

Je-li trojúhelník pravoúhlý, jeho ortocentrum leží ve vrcholu pravého úhlu trojúhelníka.

Kdy leží paty výšek na stranách trojúhelníka a kdy mimo něj?

Je-li trojúhelník tupoúhlý, leží paty dvou jeho výšek mimo něj, jinak vždy všechny leží na jeho stranách.

Rys 2 - Střední příčky

Je dán trojúhelník ABC, středy jeho stran a a b jsou označeny Sa a Sb.

otevři rys v CabriJava

Na rysu je zkonstruována úsečka SaSb, tzv. střední příčka trojúhelníka proti straně c. Pohybujte vrcholy trojúhelníka ABC a vyslovte hypotézu, jaký je mezi střední příčkou SaSb a stranou c vztah.

Střední příčka SaSb je vždy rovnoběžná se stranou c, její délka je oproti straně c poloviční.

V okně CabriJava posuňte konstrukci až na poslední krok, tím se zobrazí naměřené délky střední příčky a strany c a test jejich rovnoběžnosti. Otestujte svou hypotézu.

Poznámka: Důkaz např. pomocí podobnosti trojúhelníků a souhlasných úhlů.

Rys 3 - Těžnice

Je dán trojúhelník ABC, středy jeho stran Sa, Sb a Sc, těžnice ta, tb a tc a bod T, průsečík těžnic ta a tb.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte vrcholy trojúhelníka ABC a ověřte, zda těžnice tc vždy protne zbývající těžnice právě v jejich průsečíku T. V Cabri Geometry je možné pro ověření použít nástroj "na objektu" (bod T na tc).

Ano, všechny tři těžnice se vždy protnou v jediném bodě.

Může tento bod T ("těžiště") ležet vně trojúhelníka? V jakém případě?

Těžiště trojúhelníka je vždy jeho vnitřním bodem.

Bod T dělí těžnici ta na dvě části. V jakém jsou poměru? Pro ověření můžete v Cabri Geometry použít nástroj měření. Případně v okně CabriJava posuňte stav konstrukce až na poslední krok, zobrazí se změřené délky odpovídajících částí těžnice ta.

|AT| : |TSa| = 2 : 1

Ověřte, zda analogický vztah platí i pro zbývající těžnice.

Důkaz obou těchto vlastností těžnic viz např. [1], článek 3.9. (pomocí stejnolehlosti).

Rys 4 - Osy úhlů, kružnice vepsaná

Je dán trojúhelník ABC, k němu jsou sestrojeny osy jeho vnitřních úhlů.

otevři rys v CabriJava

Měňte tvar trojúhelníka a přesvědčete se, že všechny tři osy úhlů se vždy protínají v jediném bodě (S).

Leží tento bod vždy uvnitř daného trojúhelníka?

Ano.

V okně CabriJava posuňte stav konstrukce až do posledního kroku, tím se zobrazí kružnice vepsaná. Popište způsob její konstrukce.

Bodem S vedeme kolmici na libovolnou stranu trojúhelníka. Vzdálenost paty této kolmice od bodu S je poloměrem vepsané kružnice, bod S jejím středem.

Pohybujte vrcholy trojúhelníka a přesvědčete se, že jeho strany jsou skutečně tečnami vepsané kružnice.

Poznámka: Pozor na obvyklou chybu při konstrukci vepsané kružnice. jako její poloměr se často místo vzdálenosti S od některé ze stran trojúhelníka použije chybně vzdálenost bodu S od průsečíku osy jednoho z úhlů s protější stranou.

Rys 5 - Osy stran, kružnice opsaná

Máme dán trojúhelník ABC, středy jeho stran jsou označeny Sa, Sb a Sc. Jimi jsou vedeny osy stran trojúhelníka označené oa, ob a oc.

otevři rys v CabriJava

Přesvědčete se podobně jako v předchozích rysech, že osy stran trojúhelníka mají vždy jediný průsečík (bod S).

Leží tento průsečík vždy uvnitř daného trojúhelníka?

Je-li trojúhelník tupoúhlý, bod S leží vně, je-li ostroúhlý, leží uvnitř trojúhelníka a je-li pravoúhlý, leží na straně proti pravému úhlu.

Posuňte stav konstrukce až do posledního kroku, tím se zkonstruuje kružnice opsaná - kružnice procházející všemi vrcholy trojúhelníka.

Přesvědčete se pro různé tvary trojúhelníka, že kružnice vždy prochází všemi jeho vrcholy. Popište její konstrukci.

Rys 6 - Kružnice připsaná

Další, méně běžný útvar související s trojúhelníky je tzv. kružnice připsaná. Pro každou stranu trojúhelníka je jedna. Sestrojuje se podobně jako kružnice vepsaná, tedy z os úhlů, i když jiných (viz obrázek). Tento rys má pouze demonstrační charakter.

otevři rys v CabriJava

Rys 7 - Podmínky pro délky stran

Trojúhelník ABC je dán délkami svých stran a, b a c. Trojúhelník je zkonstruován podle věty sss.

otevři rys v CabriJava

Měňte zadané délky stran a, b a c (pohybem krajních bodů úseček v horní části rysu). Lze trojúhelník zkonstruovat pro libovolné délky stran?

Ne, existují kombinace délek, kdy konstrukce trojúhelníka nevede k řešení.

Zkuste vyslovit podmínky, které musí délky stran splňovat, aby byl trojúhelník zkonstruovatelný.

Součet délek každých dvou stran musí být větší než délka zbývající strany

Rys 8 - Součet vnitřních úhlů

Tento rys má demonstrační charakter. Slouží jako ilustrace důkazu, že součet vnitřních úhlů každého trojúhelníka je 180° (z vlastností úhlu střídavého u příčky dvou rovnoběžek)

otevři rys v CabriJava

Pohybem vrcholů trojúhelníka ABC měňte jeho tvar. Všimněte si, že shodně označené úhly si zachovávají i shodnou velikost a dohromady tvoří u vrcholu C úhel přímý.

Rys 9 - Kružnice 9 bodů

Je dán trojúhelník ABC, středy jeho stran Sa, Sb a Sc, výšky trojúhelníka a jejich paty Pa, Pb a Pc.

otevři rys v CabriJava

Pro následující úkoly je třeba otevřít rys v Cabri Geometry II. Pokud není na počítači k dispozici, je možné stáhnout demoverzi programu zde.

Opište kružnici k1 středům stran Sa, Sb a Sc.

Opište kružnici k2 patám výšek Pa, Pb a Pc.

Sestrojte středy úseček AO, BO a CO (označte je Va, Vb a Vc). Těmto bodům opište kružnici k3.

Jaký je vztah mezi kružnicemi k1, k2 a k3?

Všechny tři kružnice jsou totožné.


Zde je rys s hotovou kružnicí devíti bodů pro počítače, kde není k dispozici Cabri Geometry. Jak je vidět, kružnice prochází patami výšek, středy stran a půlí spojnice ortocentra s vrcholy trojúhelníka.

otevři rys v CabriJava

Makrokonstrukce

Zde je k dispozici několik uložených maker (s českými popisy a nápovědou) pro urychlení konstrukce objektů na trojúhelníku:


[ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] Poslední úprava této stránky: 2016-02-11
Zoran Bonuš