Mnohoúhelníky

Lomená čára

Rovinné útvary, které jsou ohraničeny více než třemi úsečkami, jsou hůře definovatelné, neboť se jedná o objekty složitější než trojúhelník. Takové útvary se definují pomocí lomené čáry sestavené z alespoň dvou úseček. Lomená čára A₀A₁A₂...A_n (n ≥ 2) je složena postupně z úseček A₀A₁, A₁A₂, až po poslední A_n-1A_n, z nichž žádné dvě sousední úsečky neleží v jedné přímce. Pro mnohoúhelníky budeme potřebovat, aby každé dvě nesousední úsečky lomené čáry neměly žádný společný bod, tedy aby se lomená čára nikde nekřižovala, a také, aby byla lomená čára takzvaně uzavřená, tedy aby A₀=A_n.

Neuzavřená lomená čára.	Uzavřená lomená čára.	Nevyhovující lomená čára. (protíná se)

Mnohoúhelník

Část roviny ohraničená danou lomenou čarou, společně s ní, se nazývá mnohoúhelník. Pro konkrétní lomenou čaru, která je tvořená n, n ≥ 3 úsečkami, se jedná o n-úhelník (pro n = 3 tedy trojúhelník, pro n = 4 čtyřúhelník atd.). Jednotlivé úsečky lomené čáry se nazývají strany mnohoúhelníku, jejich krajní body jsou vrcholy mnohoúhelníku. Každý vrchol má tedy dva vrcholy sousední. Úsečka spojující dva nesousední vrcholy se nazývá úhlopříčka. Trojúhelník úhlopříčky nemá.

V případě, že n > 3, vychází z každého vrcholu n-3 úhlopříček (to je počet nesousedních vrcholů). Každá z nich je započítána dvakrát, proto je součin nutné vydělit dvěma.

Konvexní pětiúhelník.	Úhlopříčky v konvexním pětiúhelníku.

Bod, který je součástí mnohoúhelníku, ale neleží na odpovídající lomené čáře, která tvoří jeho hranici, je vnitřním bodem mnohoúhelníku. Úhel, jehož vrcholem je vrchol mnohoúhelníku a jehož ramena jsou odpovídající strany (tj. strany, jejichž krajním bodem je daný vrchol), se nazývá vnitřní úhel. Narozdíl od vnitřních úhlů trojúhelníku zde může nastat situace, že je vnitřní úhel nekonvexní.

Pokud jsou všechny vnitřní úhly mnohoúhelníku konvexní (tedy velikostí menší než úhel přímý), jedná se o mnohoúhelník konvexní. Oproti tomu, je-li alespoň jeden z vnitřních úhlů větší než úhel přímý, je daný mnohoúhelník nekonvexní, což odpovídá i definici konvexnosti množiny (úsečka mezi každými dvěma vnitřními body mnohoúhelníku je celá tvořena vnitřními body téhož mnohoúhelníku). V dalším textu se bude hovořit pouze o mnohoúhelnících konvexních.

Pomocí úhlopříček je totiž možné rozdělit každý n-úhelník na n-2 trojúhelníků.

Nekonvexní šestiúhelník.	Rozdělení na trojúhelníky.