Nadpis v hlavním menu (tj. „Negace logických spojek“) není přesný, negace totiž děláme pro výroky, nikoli pro spojky. Budeme se zabývat tím, jak znegovat výroky, které vznikly spojením nějakých dílčích výroků pomocí logických spojek.
První možností je celý výrok uzavřít do závorek a před ně vložit znak negace (to bychom mohli srovnat s vložením formulace „není pravda, že“ před výrok). My ale budeme chtít znát přesnější vyjádření pomocí spojek, které jsme se už naučili. Budeme chtít vyrobit zcela nový výrok, který bude popírat ten původní. Existuje několik cest, jak se dostat k jeho vyjádření. My se pokusíme vyčíst vztahy z definic spojek a ověříme si naše poznatky pomocí tabulek pravdivostních hodnot. Pokud najdeme negaci, musí – jak již víme – splňovat následující podmínku: Pro libovolné ohodnocení dílčích výroků je pravdivostní hodnota negace opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Podíváme-li se, kdy je konjunkce nepravdivá, zjistíme, že stačí, aby jeden z výroků byl nepravdivý. To můžeme říci i trochu jinak:
První nebo druhý výrok musí být nepravdivý.
Spojku „nebo“ zde uvažujeme v matematickém smyslu – mohou tedy být nepravdivé i oba výroky současně.
Jak zapíšeme fakt, že výrok má být nepravdivý? Využijeme k tomu negaci – je-li výrok nepravdivý, jeho negace je pravdivá. Můžeme tedy přeformulovat naši myšlenku o situaci, kdy konjunkce neplatí:
Negace prvního nebo druhého výroku je pravdivá.
Neboli:
Platí negace prvního výroku nebo negace výroku druhého.
Výše uvedenou větu už umíme přepsat pomocí spojek a jejich značek, které jsme se již naučili. Uvažujme tedy spojení výroků A a B pomocí konjunkce (A ∧ B) a zapišme jeho negaci: ¬A ∨ ¬B.
Pro ověření si ještě ukažme tabulku pravdivostních hodnot. Bude tentokrát obsahovat více sloupců, protože si pro větší přehlednost uvedeme i pravdivostní ohodnocení negací obou dílčích výroků a jejich spojení pomocí konjunkce. Budeme-li mít před očima ohodnocení všech těchto výroků, bude se nám lépe odvozovat ohodnocení právě vytvořené negace.
| A | B | ¬A | ¬B | A ∧ B | ¬A ∨ ¬B |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Prohlédneme-li si poslední dva sloupce, vidíme, že pravdivostní ohodnocení je ve všech řádcích opačné. Toho jsme chtěli docílit, opravdu máme způsob, jak negovat konjunkci dvou výroků.
Negací konjukce výroků A a B je disjunkce negací těchto dvou výroků.
Tato věta, která někomu může připadat zmatená, říká pouze to, na co jsme přišli v předchozích odstavcích a co jsme zachytili do tabulky.
Nyní si ještě ukažme negaci konjunkce na konkrétním příkladě. Uvažujme tento výrok, který je konjunkcí dvou jednodušších výroků:
„Číslo 10 patří do množiny reálných čísel a současně číslo 10 patří do množiny celých čísel.“
Jeho negací pak bude výrok:
„Číslo 10 nepatří do množiny reálných čísel nebo číslo 10 nepatří do množiny celých čísel.“
Zkusme opět zapátrat v paměti, abychom zjistili, kdy je spojení výroků pomocí disjunkce pravdivé a kdy nikoli. Disjunkce výroků A a B je nepravdivá jen v případě, kdy jsou oba spojované výroky nepravdivé.
Tedy jen v tom případě, kdy výrok A je nepravdivý a současně výrok B je nepravdivý.
Jinak řečeno, když:
Platí negace výroku A a současně platí také negace výroku B.
Předchozí věta říká právě ten výrok, který je negací disjunkce. Stačí jej jen přepsat pomocí našeho značení: ¬A ∧ ¬B.
Pro ověření si ještě ukažme tabulku pravdivostních hodnot obdobnou jako u negace konjunkce:
| A | B | ¬A | ¬B | A ∨ B | ¬A ∧ ¬B |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Uveďme si opět příklad, uvažujme výrok:
„Číslo 10 je reálné číslo nebo číslo 10 je celé číslo.“
Negací tohoto výroku je výrok:
„Číslo 10 není reálné číslo a současně číslo 10 není celé číslo.“
Uvažujme následující implikaci: A ⇒ B.
Kdy je tato implikace nepravdivá? To už víme – když:
Výrok A je pravdivý a současně výrok B je nepravdivý (neboli platí výrok A a negace výroku B).
Opět stačí přepsat v řeči symbolů: A ∧ ¬B. Správnost můžeme také ověřit tabulkou:
| A | B | ¬A | ¬B | A ⇒ B | A ∧ ¬B |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Uvažujme výrok:
„Jestliže číslo 10 je celé číslo, pak číslo 10 je reálné číslo.“
Jeho negací bude výrok:
„Číslo 10 je celé číslo a současně číslo 10 není reálné číslo.“
Aby ekvivalence byla nepravdivá, musí se lišit ohodnocení dílčích výroků. To ale nedokážeme zachytit tak jednoduchými výroky, jakými jsme se dosud zabývali, a proto si toto téma ponecháme do příští kapitoly, kde se takovými výroky budeme zabývat.
| Výrok | Negace výroku |
|---|---|
| A | ¬A |
| A ∧ B | ¬A ∨ ¬B |
| A ∨ B | ¬A ∧ ¬B |
| A ⇒ B | A ∧ ¬B |