Logaritmování
Dalším typem exponenciálních nerovnic, které budeme řešit, jsou nerovnice ve tvaru a^{f(x)}=b^{g(x)}, kde a, b jsou různé základy. Tento typ nerovnic budeme opět řešit tzv. logaritmováním, které jsme již zavedli při řešení exponenciálních rovnic.
f(x)\cdot \log_c a < g(x)\cdot \log_c b , pro c > 1,f(x)\cdot \log_c a > g(x)\cdot \log_c b , pro c \in (0,1),
Obecně jsme úpravu logaritmování definovali pro logaritmus s libovolným základem c. V praxi za hodnotu c budeme volit přímo základ a nebo b, neboť potom jeden z výrazů \log_c a nebo \log_c b bude rovnen jedné a nerovnice se nám výrazně zjednoduší.
Zatím jsme opět zmínili pouze nerovnice, kde byl použit znak nerovnosti <. Stejným způsobem se řeší i nerovnice, kde jsou použity znaky nerovnosti >, \leq, \geq. Při logaritmování nerovnic platí:
neotáčíme znaménko nerovnosti.
Logaritmujeme-li nerovnici logaritmem se základem a \in (0,1),
otáčíme znaménko nerovnosti.
- a) 2^x \leq 7
- b) 0,3^x < 5
- a)
- Definiční obor nerovnice D=R.
- Logaritmujeme nerovnici logaritmem o základu 2. Protože je základ logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici x \log_2 2\leq \log_2 7, která je ekvivalentní s nerovnicí x\leq\log_2 7,
neboť \log_2 2 =1. - Množina všech kořenů K=( -\infty, \log_2 7 >.
Zápis řešení:
- b)
- Definiční obor nerovnice D=R.
- Logaritmujeme nerovnici logaritmem o základu 0,3. Protože je základ logaritmu menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici x \log_{0,3} 0,3 > \log_{0,3} 5, která je ekvivalentní s nerovnicí
x > \log_{0,3} 5. - Množina všech kořenů K=(\log_{0,3} 5,+\infty).
Zápis řešení:
| (\frac{1}{2})^x > 3 | 4^{x+2} \leq 5 |
D=R |
D=R |
x \log_\frac{1}{2} \frac{1}{2} < \log_\frac{1}{2} 3 |
(x+2)\log_4 4 \leq \log_4 5 |
x < \log_\frac{1}{2} 3 |
x+2 \leq \log_4 5 |
K=(-\infty,\log_\frac{1}{2} 3 ) |
x \leq \log_4 5 - 2 |
K=(-\infty,\log_4 5 - 2> |
Tuto kapitolu uzavřeme příkladem, ve kterém je nutné nejprve pomocí pravidel pro práci s mocninami převést nerovnici na tvar, který můžeme logaritmovat. Zároveň upozorníme na jednu nepříjemnost, na kterou můžeme narazit při řešení nerovnic logaritmováním.
- Definiční obor nerovnice D=R.
- Abychom mohli logaritmovat, musíme nejprve výraz na levé straně rovnice převést na jednu mocninu:
L(x)=4^x\cdot 3^x =(4\cdot 3 )^x=12^x. - Logaritmujeme nerovnici logaritmem o základu 12. Protože je základ logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici x \log_{12} 12 > (x-1)\log_{12} 14, která je ekvivalentní s nerovnicí x > x\log_{12} 14 - \log_{12} 14.
- Převedeme všechny výrazy s neznámou na levou stranu nerovnice a neznámou vytkneme:
x(1 - \log_{12} 14) >- \log_{12} 14. - Abychom osamostatnili neznámou x, musíme rovnici vydělit výrazem (1 - \log_{12} 14). Protože je \log_{12} 14 číslo větší než 1, je celý výraz (1 - \log_{12} 14) záporný a musíme tedy otočit znak nerovnosti!
- V nerovnici x < \frac{- \log_{12} 14}{1 - \log_{12} 14} rozšíříme zlomek číslem -1:
x < \frac{ \log_{12} 14}{\log_{12} 14-1}. - Množina všech kořenů K=(-\infty,\frac{ \log_{12} 14}{\log_{12} 14-1}).
Zápis řešení:
