Aplikace logaritmických vět

Nebudeme nyní zavádět žádné další ekvivalentní úpravy. Stejně jako v předchozí kapitole budeme rovnice řešit porovnáním argumentů. V jednotlivých odstavcích ukážeme, jak lze upravit výrazy v logaritmické rovnici, aby ji bylo možné řešit porovnáním argumentů.

Logaritmické rovnice budeme upravovat pomocí vět o logaritmech, které souhrnně připomeneme v následujícím rámečku. Tentokrát v argumentech logaritmu nebudou jen čísla, ale výrazy s neznámou, které symbolicky zapisujeme f(x), g(x).

Za předpokladu, že a \in R^+-\{1\}, f(x)>0 a g(x)>0 platí:
\log_a f(x)+\log_a g(x)=\log_a (f(x)\cdot g(x))
\log_a f(x)-\log_a g(x)=\log_a \frac{f(x)}{g(x)}
g(x)\log_a f(x)=\log_a f(x)^{g(x)}
Součet a rozdíl logaritmů

Nejprve ukážeme, jak řešíme rovnice, kde se vyskytuje součet a rozdíl několika logaritmů, které mají stejný základ. V těchto příkladech využíváme poučku, že součet logaritmů je logaritmus součinu a rozdíl logaritmů je logaritmus podílu za předpokladu, že všechny výrazy jsou definovány.

Příklad 5.7
Řešte rovnice s neznámou x \in R:
  1. a) \log_3(x+7)-\log_3 2x=\log_3 4
  2. b) \log_2(x+1)+\log_2(x-1)-3=\log_2(x-2)
Řešení
    a)
  • Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x+7>0 a 2x>0.
  • Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
  • Výraz na levé straně rovnice obsahuje rozdíl dvou logaritmů se stejným základem. Rozdíl logaritmů je logaritmus podílu:
    L(x)=\log_3(x+7)-\log_3 2x=\log_3 \frac{x+7}{2x}.
  • Rovnici \log_3 \frac{x+7}{2x}=\log_3 4 vyřešíme porovnáním argumentů.
  • Získáme ekvivalentní rovnici \frac{x+7}{2x}=4, jejímž řešením je x=1.
  • Číslo 1 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{1\}.

Zápis řešení:

    b)
  • Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x+1>0,
    x-1>0 a x-2>0.
  • Definiční obor rovnice D=(2,+\infty).
  • Výraz na levé straně rovnice obsahuje kromě logaritmů i číslo 3. Abychom mohli použít věty o logaritmech, musíme nejprve převést číslo 3 na logaritmus o základu 2:
    3=\log_2 8.
  • Na levou stranu rovnice aplikujeme věty o logaritmech součtu a rozdílu:
    L(x)=\log_2(x+1)+\log_2(x-1)-\log_2 8=\log_2\frac{(x+1)(x-1)}{8}.
  • Rovnici \log_2\frac{(x+1)(x-1)}{8}=\log_2(x-2) vyřešíme porovnáním argumentů.
  • Získáme ekvivalentní rovnici \frac{(x+1)(x-1)}{8}=x-2, která po úpravě vede na kvadratickou
    rovnici, jejímž řešením jsou čísla x_1=3 a x_2=5.
  • Číslo 3 i 5 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{3,5\}.

Zápis řešení:

Cvičení 5.7
Řešte rovnice s neznámou x, y \in R:
\log_5 x + \log_5(x-3)=\log_5 4 \log_3(4y+1)-2=\log_3(y-1)
D=(3,+\infty)
D=(1,+\infty)
\log_5 x(x-3)=\log_5 4
\log_3(4y+1)-\log_3 9=\log_3(y-1)
x(x-3)= 4
\log_3\frac{4y+1}{9}=\log_3(y-1)
x^2-3x-4= 0
\frac{4y+1}{9}=(y-1)
(x-4)(x+1)= 0
4y+1=9y-9
x_1=4~~~x_2=-1
10=5y
4\in D,~~-1\notin D
y=2
K=\{4\}
2\in D
K=\{2\}
Násobek logaritmu

Další věta o logaritmech nám umožňuje převést násobek před logaritmem do argumentu logaritmu. V kapitole o logaritmických větách jsme zjednodušeně říkali, že násobek logaritmu je logaritmus mocniny.

Příklad 5.8
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

\log_8(6x-2)=2\log_8(x-3)

Řešení
  • Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky
    6x-2>0 a x-3>0.
  • Definiční obor rovnice D=(3,+\infty).
  • Logaritmus na pravé straně rovnice je vynásoben číslem 2. Převedeme toto číslo do argumentu logaritmu:
    P(x)=2\log_8(x-3)=\log_8(x-3)^2.
  • Rovnici \log_8(6x-2)=\log_8(x-3)^2 vyřešíme porovnáním argumentů.
  • Získáme ekvivalentní rovnici 6x-2=(x-3)^2, která po úpravě vede na kvadratickou rovnici, jejímž řešením jsou čísla x_1=1 a x_2=11.
  • Číslo 11 leží v definičním oboru rovnice, ale číslo 1 neleží v definičním oboru rovnice, proto K=\{11\}.

Zápis řešení:

Příklad 5.9
Řešte rovnici s neznámou x \in R:

2\log(x+1)=\log(x+4)+\log x

Řešení
  • Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky
    x+1>0, x+4>0 a x>0.
  • Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
  • Na levé straně rovnice upravíme výraz pomocí vět o logaritmech:
    L(x)=2\log(x+1)=\log(x+1)^2.
  • Na pravé straně rovnice také upravíme výraz pomocí vět o logaritmech:
    P(x)=\log(x+4)+\log x=\log x(x+4).
  • Rovnici \log(x+1)^2=\log x(x+4) vyřešíme porovnáním argumentů.
  • Získáme ekvivalentní rovnici (x+1)^2=x(x+4), která po úpravě vede na lineární rovnici, jejímž řešením je x=\frac{1}{2}.
  • Číslo \frac{1}{2} leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{\frac{1}{2}\}.

Zápis řešení: