Logartimická rovnice

Logaritmickou rovnicí nazýváme každou rovnici, ve které je neznámá v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu.

Nejprve opět upřesníme pojem logaritmické rovnice.

Příklad 5.1
Rozhodněte, zda se jedná o logaritmickou rovnici s neznámou x\in R:
  1. a) \log_6{(x^2-4x+7)}=2
  2. b) \log_3{9}=4x
  3. c) \log_x{16}=\log_2{x}
Řešení:
Logaritmická rovnice musí mít neznámou v argumentu nebo v základu nějakého logaritmu:
  1. a) Rovnice \log_6{(x^2-4x+7)}=2 je logaritmickou rovnicí. Neznámá x je v argumentu logaritmu \log_6{(x^2-4x+7)}.
  2. b) Rovnice \log_3{9}=4x není logaritmickou rovnicí. Neznámá x není v argumentu ani základu žádného logaritmu. Protože \log_3{9}=2, jedná se o lineární rovnici 2=4x.
  3. c) Rovnice \log_x{16}=\log_2{x} je logaritmickou rovnicí. Neznámá x je v základu logaritmu
    \log_x{16} i v argumentu logaritmu \log_2{x} .

Co znamená vyřešit rovnici a postup při řešení rovnic jsme si již připomněli v kapitole o exponenciálních rovnicích.

NAHORU
Definiční obor

Před samotným řešením rovnice nejprve určujeme její definiční obor. U exponenciálních rovnic bylo určení definičního oboru snadné, protože v exponentu mocniny může být libovolné reálné číslo. Logaritmus je však definován pouze pro argumenty větší než nula a pro kladné základy různé od jedné (podobně jako druhá odmocnina je definovaná pouze pro čísla větší nebo rovna nule). Do definičního oboru tedy patří čísla, pro která je :

Definiční obor rovnice je někdy obtížné určit. Může se dokonce stát, že určení definičního oboru je náročnější než samotné řešení rovnice. V tomto případě definiční obor určovat nebudeme, ale na konci řešení musíme pro každý případný kořen provést zkoušku.

Určení definičního oboru ukážeme na příkladě. Jedná se vždy o řešení nerovnic.

Příklad 5.2
Určete definiční obory rovnic s neznámou x, y\in R:
  1. a) \log_5{(3x+2)-5=0}
  2. b) \log_{y+2}{8}=\frac{1}{2}
Řešení:
    a)
  • Argument logaritmu musí být kladný. Řešíme tedy nerovnici (3x+2)>0.
  • Převedeme číslo 2 na pravou stranu nerovnice a celou nerovnici vydělíme číslem 3.
  • Získáme nerovnici x>-\frac{2}{3}, jejímž řešením jsou x\in(-\frac{2}{3},\infty).
  • Definiční obor rovnice je D=(-\frac{2}{3},\infty).
    b)
  • Základ logaritmu musí být kladný a různý od jedné.
  • Nejprve tedy vyřešíme nerovnici y+2>0, jejímž řešením jsou y\in(-2,\infty).
  • Dále přidáme podmínku y+2\neq 1, tedy y\neq -1.
  • V definičním oboru jsou čísla, pro která platí obě podmínky:
    D=(-2,-1)\cup(-1,\infty).

Protože se v této práci předpokládá, že již ovládáte řešení základních typů nerovnic, nebudeme dále popisovat, jak určit definiční obor logaritmické rovnice. Pokud Vám toto téma činí problémy, využijte webovou aplikaci věnovanou řešení rovnic a nerovnic.

NAHORU
Typy logaritmických rovnic

Opět nemáme žádný univerzální algoritmus, pomocí kterého bychom nalezli řešení každé logaritmické rovnice. Naučíme se několik základních metod, které využijeme při řešení konkrétních typů logaritmických rovnic. Tyto metody si nazveme:

Na konci této kapitoly ukážeme, jak lze další typy logaritmických rovnic řešit pomocí numerických metod a počítačů.

NAHORU