Logaritmování
Dalším typem exponenciálních rovnic, které budeme řešit, jsou rovnice ve tvaru a^{f(x)}=b^{g(x)}, kde a, b jsou různé základy. Tento typ rovnice budeme řešit tzv. logaritmováním.
Rozmyslíme si, že tato úprava nám nezmění řešení rovnice. Ukážeme, že z rovnice a^{f(x)}=b^{g(x)} dokážeme pomocí ekvivalentích úprav získat rovnici
f(x)\cdot \log_c a =g(x)\cdot \log_c b.
- Definiční obor funkce y=\log_c{x} je D=(0,+\infty).
- Výrazy a^{f(x)}, b^{g(x)} nabývají pouze kladných hodnot, proto jsou i výrazy
\log_c{a^{f(x)}}, \log_c{b^{g(x)}} definovány. - Funkce y=\log_c{x} je prostá. Rovnají-li se argumenty prosté funkce, rovnají se i její funkční hodnoty.
- Rovnice a^{f(x)}=b^{g(x)} je tedy ekvivalentí s rovnicí \log_c{a^{f(x)}}=\log_c{b^{g(x)}}.
- Upravíme výraz na levé straně této rovnice pomocí logaritmických vět:
L(x)=\log_c{a^{f(x)}}=f(x)\cdot\log_c{a}. - Stejným způsobem upravíme i výraz na pravé straně rovnice:
P(x)=\log_c{b^{g(x)}}=g(x)\cdot\log_c{b}. - Získali jsme rovnici f(x)\cdot \log_c a =g(x)\cdot \log_c b, která je ekvivaletní s původní rovnicí.
Obecně jsme úpravu logaritmování definovali pro logaritmus s libovolným základem c. V praxi za c budeme volit přímo základ a nebo b, neboť potom jeden z výrazů \log_c a nebo \log_c b bude rovnen jedné a rovnice se nám výrazně zjednoduší.
- a) 2^x=10
- b) 7^y=13^{y-1}
- a)
- Definiční obor rovnice D=R.
- Využijeme právě zavedenou ekvivalentní úpravu logaritmování a logaritmujeme rovnici logaritmem o základu 2:
x\cdot \log_2 2=\log_2 10. - Protože \log_2 2=1, dostáváme přímo řešení rovnice x=\log_2 10.
- Množina všech kořenů K=\{\log_2 10\}.
Zápis řešení:
- b)
- Definiční obor rovnice D=R.
- Logaritmujeme rovnici logaritmem o základu 13:
y\cdot \log_{13} 7=(y-1)\cdot\log_{13} 13. - Pomocí ekvivalentích úprav vyjádřime neznámou y=-\frac{1}{\log_{13}-1}.
- Množina všech kořenů K=\{-\frac{1}{\log_{13}-1}\}.
Zápis řešení:
| 5^{x+2}=8 | 3^x=16^{x+1} |
D=R |
D=R |
(x+2)\cdot\log_5 5=\log_5 8 |
x\cdot\log_{16} 3=(x+1)\cdot\log_{16} 16 |
x+2=\log_5 8 |
x\cdot\log_{16} 3=x+1 |
x=\log_5 8 - 2 |
x\cdot\log_{16} 3 - x=1 |
K=\{\log_5 8 - 2\} |
x(\log_{16} 3 - 1) =1 |
x =\frac{1}{\log_{16} 3 - 1} |
|
K=\{\frac{1}{\log_{16} 3 - 1}\} |
Logaritmováním budeme řešit i rovnice, které sice nejsou ve tvaru a^{f(x)}=b^{g(x)}, ale ekvivalentními úpravami je na tento tvar můžeme převést. Stejně jako v předchozí kapitole budeme využívat pravidla pro práci s mocninami a vytýkání mocnin z výrazů, abychom rovnici upravili na základní tvar.
- Definiční obor rovnice D=R.
- V rovnici se vyskytují mocniny o třech různých základech. Abychom mohli použít logaritmování, musíme rovnici převést na tvar, ve kterém se vyskytují jen dva různé základy mocnin.
- Převedeme mocninu 4^{x+1} na mocninu o základu dva: 4^{x+1}=2^{2x+2}.
- Vydělíme celou rovnici mocninou 2^x, abychom získali tvar a^{f(x)}=b^{g(x)}, který můžeme logaritmovat.
- Logaritmujeme rovnici 3^{x-1}=2^{x+2} logaritmem o základu 2:
(x-1)\cdot\log_2 3=(x+2)\cdot\log_2 2 . - Z této rovnice ekvivalentími úpravami vyjádříme neznámou x=\frac{2+\log_2 3}{\log_2 3 -1}.
- Množina všech kořenů K=\{ \frac{2+\log_2 3}{\log_2 3 -1} \}.
Zápis řešení:
- Definiční obor rovnice D=R.
- Levá strana rovnice není v součinovém tvaru, který bychom potřebovali pro logaritmování. Na součinový tvar převedeme výraz na pravé straně vytknutím mocniny 7^{y-1}:
L(x)=3\cdot 7^y-7^{y-1}=3\cdot 7\cdot 7^{y-1}-7^{y-1}=7^{y-1}\cdot(21-1)=20\cdot 7^{y-1} - Vydělíme celou rovnici číslem 20, abychom jí upravili na tvar a^{f(x)}=b^{g(x)}.
- Logaritmujeme rovnici 7^{y-1}=3 logaritmem o základu 7:
(y-1)\cdot \log_7 7=\log_7 3 . - Z této rovnice ekvivalentími úpravami vyjádříme neznámou y=\log_7 3 +1 .
- Množina všech kořenů K=\{ \log_7 3 +1 \}.
Zápis řešení:
