Exponenciální rovnice

Exponenciální rovnicí nazýváme každou rovnici, ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny.

Nejprve si na příkladech vyjasníme pojem exponenciální rovnice.

Příklad 4.1
Rozhodněte, zda se jedná o exponenciální rovnici s neznámou x\in R:
  1. a) 3^x-9=5^x
  2. b) 3x-x^5=7
  3. c) 2^{x^2-3x+6}=1
Řešení:
Exponenciální rovnice musí mít neznámou v exponentu nějaké mocniny:
  1. a) Rovnice 3^x-9=5^x je exponenciální rovnicí. Neznámá x je v exponentu
    mocniny 3^x i 5^x.
  2. b) Rovnice 3x-x^5=7 není exponenciální rovnicí. Neznámá x totiž není v exponentu žádné mocniny.
  3. c) Rovnice 2^{x^2-3x+6}=1 je exponenciální rovnicí. Neznámá x je v exponentu
    mocniny 2^{x^2-3x+6}.

U rovnice nás vždy zajímá její řešení. Proto si nyní připomeneme, co znamená vyřešit rovnici.

Vyřešit rovnici s neznámou x \in R znamená určit všechny hodnoty neznámé x, pro které platí daná rovnost.

Důležité je, že musíme najít všechna řešení rovnice. Vezměme například kvadratickou rovnici x^2=4. Nestačí říct, že řešením rovnice je x=2. Zapomněli jsme totiž na druhý kořen této rovnice x=-2. Řešením rovnice jsou tedy dvě čísla
x_1=2, x_2=-2.

NAHORU
Postup při řešení rovnice

Nejprve připomeneme některé pojmy, které jste již využívali při řešení rovnic.

Obor řešení rovnice je množina, ve které hledáme řešení rovnice. Určíme ji snadno ze zadání. V naší práci se vždy jedná o reálná čísla, a proto tento bod budeme vynechávat. (Přesto je dobré si pamatovat, že můžeme hledat řešení na nějaké podmožině reálných čísel nebo v jiném číselném oboru.)

Definiční obor rovnice je podmnožina oboru řešení (v naší práci podmnožina reálných čísel) obsahující čísla, pro která jsou všechny výrazy v rovnici definovány. Vylučujeme tedy čísla, pro která je nějaký

K samotnému řešení využíváme ekvivalentní a důsledkové úpravy, pomocí nichž upravujeme výrazy na levé a pravé straně rovnice. Na konci této fáze bychom měli získat jednoduchou rovnici, kterou dokážme "z hlavy" vyřešit. Některé ekvivalentní a důsledkové úpravy již známe a další zavedeme postupně v jednotlivých kapitolách.

Množina všech kořenů rovnice obsahuje ta řešení (získaná v předchozím kroku), která jsou v definičním oboru rovnice. Pokud při řešení používáme důsledkové úpravy nebo předem neurčíme definiční obor, musíme každé řešení ověřit zkouškou.

Dohodneme se na základních fázích řešení rovnice.

  1. Určíme obor řešení rovnice O.
  2. Určíme definiční obor rovnice D.
  3. Pomocí ekvivalentních a důsledkových úprav zjednodušíme rovnici.
  4. Určíme množinu všech kořenů rovnice K.

Ukážeme, jak v této práci budeme zapisovat řešení rovnic.

  1. Zadání příkladu
    1. Číslo příkladu. První číslo určuje kapitolu, druhé číslo pořadí příkladu v kapitole.
    2. Obor řešení rovnice O. V naší práci jsou to vždy reálná čísla.
  2. Slovní popis řešení
    1. Určení definičního oboru rovnice D.
    2. Úpravy rovnice. Jsou zde obsaženy pouze hlavní kroky řešení.
    3. Určení množiny všech kořenů K. (Ověříme, zda řešení získaná v předchozím kroku patří do definičního oboru rovnice.)
  3. Symbolický zápis řešení
    1. Definiční obor.
    2. Ekvivalentní úpravy. Zapisujeme je za lomítko.
    3. Pomocné úpravy. Zapisujeme je na pravou stranu stránky.
    4. Množina všech kořenů. Zapisujeme ji na poslední řádek. Mezi předposledním a posledním řádkem navíc ověřujeme, zda řešení, získaná v předchozím kroku, patří do definičního oboru rovnice.
NAHORU
Řešení exponenciální rovnice

U exponenciálních rovnic nemáme žádný univerzální algoritmus, pomocí kterého bychom určili řešení každé exponenciální rovnice. Naučíme se několik základních metod, které využijeme při řešení konkrétních typů exponenciálních rovnic:

Některé další typy exponenciálních rovnic lze vhodnými úpravami převést na tvar, který dokážeme vyřešit. Existují ale i exponenciální rovnice, které neumíme vyřešit. Můžeme jen určit přibližné řešení za pomoci numerických metod a počítačů, jak bude ukázáno na konci této kapitoly.

NAHORU