Věty o logaritmech

Vztah mocniny a logaritmu

V celé této kapitole budeme využívat jedno pomocné tvrzení, z kterého odvodíme známé věty o logaritmech.

Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolné kladné reálné číslo r platí:
a^{\log_a{r}}=r.
Důkaz
Logartimus součinu
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r, s platí:
\log_a{(r\cdot s)}=\log_a{r}+\log_a{s}.
Důkaz

Zjednodušeně říkáme:

Logaritmus součinu je součet logaritmů.
Příklad 2.6
Vypočítejte:
  1. a) \log_{3}{(81\cdot 27)}
  2. b) \log_{6}{9}+\log_{6}{4}
Řešení

K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus součinu je součet logaritmů a obráceně.
    a)
  • Přepíšeme výraz \log_{3}{(81\cdot 27)} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{3}{81}+\log_{3}{27}.
  • Vypočítáme oba logaritmy a sečteme je: \log_{3}{81}+\log_{3}{27}=4+3=7.
    b)
  • Přepíšeme výraz \log_{6}{9}+\log_{6}{4} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{6}{(9\cdot 4)}.
  • Vypočítáme tento logaritmus: \log_{6}{(9\cdot 4)}=\log_{6}{36}=2.
Zápis řešení:
  1. a) \log_{3}{(81\cdot 27)}=\log_{3}{81}+\log_{3}{27}=4+3=7
  2. b) \log_{6}{9}+\log_{6}{4}=\log_{6}{(9\cdot 4)}=\log_{6}{36}=2
Logaritmus podílu
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r, s platí:
\log_a{\frac{r}{s}}=\log_a{r}-\log_a{s}.
Důkaz

Opět zjednodušeně říkáme:

Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů.
Příklad 2.7
Vypočítejte:
  1. a) \log_{2}{\frac{1024}{128}}
  2. b) \log_{3}{18}-\log_{3}{2}
Řešení

K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus podílu je rozdíl logaritmů a obráceně.
    a)
  • Přepíšeme výraz \log_{2}{\frac{1024}{128}} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{2}{1024}-\log_{2}{128}.
  • Vypočítáme oba logaritmy a odečteme je: \log_{2}{1024}-\log_{2}{128}=10-7=3.
    b)
  • Přepíšeme výraz \log_{3}{18}-\log_{3}{2} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{3}{\frac{18}{2}}.
  • Vypočítáme tento logaritmus: \log_{3}{\frac{18}{2}}=\log_{3}{9}=2.
Zápis řešení:
  1. a) \log_{2}{\frac{1024}{128}}=\log_{2}{1024}-\log_{2}{128}=10-7=3
  2. b) \log_{3}{18}-\log_{3}{2}=\log_{3}{\frac{18}{2}}=\log_{3}{9}=2
Logaritmus mocniny
Pro každé a\in R^+-\{1\}, kladné reálné číslo r a libovolné reálné číslo s platí:
\log_a{r^s}=s\cdot \log_a{r}.
Důkaz

Zjednodušeně můžeme říct:

Logaritmus mocniny je násobek logaritmu.
Příklad 2.8
Vypočítejte:
  1. a) \log_{3}{9^4}
  2. b) 3\log_{8}{2}
Řešení

K řešení využijeme tvrzení, že logaritmus mocniny je násobek logaritmu a obráceně.
    a)
  • Přepíšeme výraz \log_{3}{9^4} podle výše zmíněného tvrzení na 4\log_{3}{9}.
  • Vypočítáme logaritmus a určíme výsledek: 4\log_{3}{9}=4\cdot 2=8.
    b)
  • Přepíšeme výraz 3\log_{8}{2} podle výše zmíněného tvrzení na \log_{8}{2^3}.
  • Vypočítáme tento logaritmus: \log_{8}{2^3}=\log_{8}{8}=1.
Zkrácený zápis řešení:
  1. a) \log_{3}{9^4}=4\log_{3}{9}=4\cdot 2=8
  2. b) 3\log_{8}{2}=\log_{8}{2^3}=\log_{8}{8}=1
Úpravy výrazů s logaritmy

Výše zmíněné věty využijeme při řešení logaritmických rovnic. Často budeme muset výraz na jedné straně rovnice převést na jeden logaritmus. Jak převést výraz s logaritmy na jeden logaritmus, je ukázáno v následujících příkladech.

Příklad 2.9
Převeďte výráz na jeden logaritmus (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných):

2-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)

Řešení
  • Nejprve převedeme číslo 2 na logaritmus o základu 3.
    Hledáme takové x, pro které je výraz \log_3 x = 2 viz předchozí kapitola:
    \log_3 9 = 2.
  • Nyní obsahuje výraz jen logaritmy o stejném základu \log_3 9-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1).
  • Podle věty o logaritmu mocniny převedeme všechna čísla před logaritmy do argumentu logaritmu:
    4\log_3 a = \log_3 a^4,
    \frac{1}{2}\log_3 (a+1)=\log_3(a+1)^\frac{1}{2}=\log_3 \sqrt{a+1}.
  • Získáme výraz \log_3 9-\log_3 a^4 + \log_3 \sqrt{a+1}, na který aplikujeme věty o logaritmu součinu a podílu. Převedeme výraz na jeden logaritmus s argumentem ve tvaru zlomku, kde v čitateli bude součin argumentů logaritmů s kladným znaménkem před logaritmem a ve jmenovateli součin argumentů logaritmů se záporným znaménkem před logaritmem:
    \log_3 \frac{9\sqrt{a+1}}{a^4}.

Zápis řešení:

2-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)=
=\log_3 9-4\log_3 a + \frac{1}{2}\log_3 (a+1)=
=\log_3 9-\log_3 a^4 + \log_3 \sqrt{a+1}=
=\log_3 \frac{9\sqrt{a+1}}{a^4}.

Cvičení 2.9
Převeďte výráz na jeden logaritmus (předpokládejte přípustné hodnoty proměnných):
2\log_5 x - 1 - \log_5(3x-2)= -\frac{1}{3}\log_2 b - 3 - \log_2(2-a)=
=2\log_5 x - \log_5 5 - \log_5(3x-2)=
=-\frac{1}{3}\log_2 b - \log_2 8 - \log_2(2-a)=
=\log_5 x^2 - \log_5 5 - \log_5(3x-2)=
=-\log_2 \sqrt[3]{b} - \log_2 8 - \log_2(2-a)=
=\log_5 \frac{x^2}{5(3x-2)}
=\log_2 \frac{1}{8\sqrt[3]{b}(2-a)}
Podíl dvou logaritmů
Pro každé a\in R^+-\{1\} a libovolná kladná reálná čísla r a s, s\neq 1 platí:
\frac{\log_a{r}}{\log_a{s}}=\log_s{r}.
Důkaz

Pomocí tohoto tvrzení lze na kalkulačce vypočítat logaritmus libovolného přípustného základu a argumentu:

Pro libovolná kladná reálná čísla r a s, s\neq 1 platí:
\log_s{r}=\frac{\log{r}}{\log{s}},
\log_s{r}=\frac{\ln{r}}{\ln{s}}.
Příklad 2.10
Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
Poznámka
  1. a) \log_{4}{13}
  2. b) \log_{\frac{1}{3}}{\frac{7}{4}}
Řešení

K výpočtu využijeme dekadický logaritmus (stejně tak bychom mohli použít přirozený logaritmus).
    a)
  • Přepíšeme výraz \log_{4}{13} podle výše zmíněného tvrzení na \frac{\log{13}}{\log{4}}.
  • Vypočítáme oba dekadické logaritmy na kalkulačce.
  • Dále na kalkulačce určíme jejich podíl, který je výsledkem příkladu.
Druhý a třetí krok lze provést součastně zadáním celého výrazu do kalkulačky. Tak získáme co nejpřesnější výsledky.

Zápis řešení:
  1. a) \log_{4}{13}=\frac{\log{13}}{\log{4}}=\frac{1,113~9...}{0,602~0...}\doteq 1,850~2
  2. b) \log_{\frac{1}{3}}{\frac{7}{4}}=\frac{\log{\frac{7}{4}}}{\log{\frac{1}{3}}}=\frac{0,243~0...}{-0,477~1...}\doteq -0,509~4
Cvičení 2.10
Na kalkulačce vypočítejte a zaokrouhlete na čtyři desetinná místa:
\log_{25}{15}=
\frac{\log{15}}{\log{25}}=
\frac{1,176~0...}{1,397~9...}\doteq
0,841~3
\log_{1,2}{37}=
\frac{\log{37}}{\log{1,2}}=
\frac{1,568~2...}{0,079~1...}\doteq
19,805~2
\log_{\frac{1}{4}}{125}=
\frac{\log{125}}{\log{\frac{1}{4}}}=
\frac{2,096~9...}{-0,602~0...}\doteq
-3,482~9