Vzájemná poloha dvou rovin

Ve stereometrii rozlišujeme tři různé vzájemné polohy dvou rovin. Pokud mají roviny všechny body společné, nazýváme je totožné. Nemají-li dvě roviny žádné společné body, pak je nazýváme rovnoběžné různé. Mají-li roviny společnou přímku, nazýváme je různoběžné.

Mají-li dvě různé roviny společný bod, pak mají společnou přímku, která tímto bodem prochází, kromě této přímky nemají žádné další společné body (pokud nejsou roviny totožné).

Společnou přímku p dvou různoběžných rovin nazýváme průsečnice.

Kritérium rovnoběžnosti dvou rovin

Dvě roviny jsou rovnoběžné právě tehdy, když jedna z nich obsahuje dvě různoběžné přímky, které jsou s druhou rovinou rovnoběžné.

Vzájemná poloha	Společné body	Číslo obrázku	Značení
Totožné	všechny	obr. 1	α = β
Rovnoběžné různé	žádné	obr. 2	α \|\| β
Různoběžné	přímka společných bodů	obr. 3	α β

Obr. 1	Roviny totožné, mají tedy všechny body společné (jsou totožné s rovinou dolní podstavy krychle).
\ Obr. 2	Roviny jsou rovnoběžné různé, tedy nemají žádný společný bod.
Obr. 3	Roviny jsou různoběžné, mají společnou průsečnici, přímku společných bodů.

Úlohy

1. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete všechny roviny, které procházejí vrcholy krychle a mají s rovinou dolní podstavy společnou právě jednu přímku danou body BC.

Jsou to roviny BCF a BCH.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

2. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete vzájemnou polohu roviny BCE a roviny FGA.

Roviny jsou různoběžné a mají společnou přímku, která prochází středy přední a zadní stěny krychle.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

3. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete průsečnici rovin ABD a BFH.

Průsečnicí je přímka BD.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

4. Máme dánu krychli ABCDEFGH. Určete rovinu procházející vrcholem G, která je rovnoběžná s rovinou ADE.

Výsledkem je rovina BCG.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

5. Máme dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV. Určete pomocí vrcholů jehlanu všechny roviny procházející vrcholem A, které jsou různoběžné s rovinou BCD.

Řešením jsou roviny ABV, ADV, ACV.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

6. Máme dán pětiboký hranol ABCDEFGHIJ. Určete vzájemnou polohu roviny ACH s rovinou GJI.

Roviny jsou různoběžné, jejich průsečnicí je přímka FH.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

7. Na krychli ABCDEFGH sestrojte průsečnici p rovin AFH a ACE.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

8. Na krychli ABCDEFGH sestrojte průsečnici p rovin ABC a AMN, kde bod N je střed hrany BC a bod M je střed hrany FG.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek

9. Je dán jehlan ABCDV sestrojte průsečnici p roviny DVS, kde bod S je střed hrany BC s rovinou kolmou k rovině dolní podstavy procházející přímkou CV.

Skryj výsledek

Zobraz výsledek