Osová afinita mezi kružnicí a elipsou
Osová afinita v rovině, která není osovou souměrností, převádí každou kružnici k do elipsy k', a naopak elipsu l převádí buď do elipsy l', nebo do kružnice l'. Proto mluvíme o osové afinitě mezi kružnicí a elipsou.
Osová afinita mezi kružnicí a elipsou se používá k řešení některých úloh o elipse, těm se ale na těchto stránkách nebudeme věnovat. My se zaměříme pouze na sestrojení obrazu kružnice a elipsy v osové afinitě, abychom se naučili sestrojovat například podstavu válce.
Je-li osová afinita pravoúhlá a není-li to osová souměrnost, pak obrazem kružnice k je elipsa k' taková, že obrazem průměru kružnice, který je rovnoběžný s osou o a obrazem průměru kružnice, který je kolmý na osu, jsou osy elipsy k'.
Na apletu níže je dána kružnce k, osa afinity o, střed S kružnice k a střed S' hledané elipsy k', která je obrazem kružnice k. Směr SS' je směr osové afinity.
Bod E je libovolný bod kružnice k a bod E' je jeho obraz. Když chytíte myší bod E a budete s ním pohybovat po kružnici k, bude se pomocí bodu E' vykreslovat obraz kružnice k, kterým bude elipsa.
V osové afinitě mezi kružnicí a elipsou platí:
- Obrazem tečny je opět tečna.
- Máme-li obraz a vzor (například kružnice a elipsa), tak umíme vždy poznat zda existuje osová afinita.
Poznámka
Ke konstrukci elipsy stačí znát pět jejich bodů. Tedy stačí uvažovat obrazy pěti bodů (vzorů). V softwaru Cabri II Plus je tento příkaz k dispozici a byl využit v této práci při konstrukcích v příkladech.
Pokud bychom obraz kružnice črtali tužkou na papír, potřebovali bychom více obrazů bodů zadané kružnice.
Příklad 1
Je dána kružnice k a osová afinita určená uspořádanou dvojicí bodů SS' a osou o. Sestrojte obraz kružnice k v dané osové afinitě.
Řešení
Postup si ukážeme po krocích.
 Abychom mohli sestrojit obraz kružnice k, potřebujeme najít obrazy alespoň pěti bodů této kružnice. Vezměme například body A, B, C, D, E (úsečky AC, BD jsou průměry kružnice) a najděme jejich obrazy. Obrazy těchto bodů pak použijeme k načrtnutí obrazu dané kružnice k. |
 Sestrojíme obraz A' bodu A a obraz C' bodu C, a to stejně jako v Příkladu 1b v kapitole o osové afinitě v rovině. |
 Sestrojíme obrazy B', D', E' bodů B, D, E stejně jako v Příkladu 1a v kapitole o osové afinitě v rovině. |
 Pomocí bodů A', B', C', D', E' načrtneme obraz kružnice k, kterým bude elipsa k'. Body A', B', C', D' jsou vrcholy elipsy. |
Příklad 2
Je dána kružnice k a osová afinita určená uspořádanou dvojicí bodů SS' a osou o. Sestrojte obraz kružnice k v dané osové afinitě.
Řešení
Postup si ukážeme po krocích.
 Abychom mohli sestrojit obraz kružnice k, potřebujeme najít obrazy alespoň pěti bodů této kružnice. Vezměme například body A, B, C, D, E (úsečky AC, BD jsou průměry kružnice) a najděme jejich obrazy. Obrazy těchto bodů pak použijeme k načrtnutí obrazu dané kružnice k. |
 Sestrojíme obraz A' bodu A a obraz C' bodu C, a to stejně jako v Příkladu 1b v kapitole o osové afinitě v rovině. |
 Sestrojíme obrazy B', D', E' bodů B, D, E stejně jako v Příkladu 1a v kapitole o osové afinitě v rovině. |
 Pomocí bodů A', B', C', D', E' načrtneme obraz kružnice k, kterým bude elipsa k'. Body A', B', C', D' však nejsou vrcholy elipsy. Vrcholy elipsy jsou body T, U, V, W. Z obrazů kolmých průměrů kružnice jsme schopni sestrojit hlavní a vedlejší osu elipsy a to se provádí například Rytzovou konstrukcí, kterou zde nebudeme uvádět. V obrázku jsou tyto osy zakresleny pro pochopení toho, že obrazy kolmých průměrů kružnice nemusí být hlavní a vedlejší osa elipsy. |
Úlohy
1. Osová afinita je zadána osou o a uspořádanou dvojicí bodů SS'. Určete obraz kružnice k:
a)  |
b)  |
| Řešení | Řešení |
c)  |
d)  |
| Řešení | Řešení |
2. Osová afinita je zadána osou o a uspořádanou dvojicí bodů SS'. Určete obraz elipsy l:
a)  |
b)  |
| Řešení | Řešení |
c)  |
d)  |
| Řešení | Řešení |