Tato kapitola se odlišuje od ostatních kapitol hlavní části. Věnuje se pojmu, který je zahrnut v osnovách matematiky pro gymnázia jako rozšiřující téma. Má spíše výkladový charakter a v některých částech jde i do větších podrobností než v učebnici planimetrie [1]. Obsah kapitoly také není rozdělen do několika samostatných rysů, ale naopak tvoří víceméně souvislý výklad, čemuž je přizpůsobeno i odlišné členění kapitoly.
Mocnost bodu ke kružnici lze definovat několika způsoby. Tato kapitola vychází z "experimentálního" objevení jednoho z nich a ukazuje cestu, jak dalšími experimenty objevit, pojmenovat a dokázat vlastnosti, které s pojmem mocnosti bodu souvisí. Kladen je při tom důraz na vizuální, geometrickou stránku vztahů. Následuje několik příkladů, ve kterých je určení mocnosti bodu cílem či prostředkem řešení.
Rysy většinou nejsou složité a tak je mohou studenti, pokud již mají základní dovednosti v práci s Cabri Geometry, sami podle zadání vytvořit.
Mějme dánu kružnici k se středem S a bod M ležící mimo ni. Bodem M vedeme libovolnou sečnu. Její průsečíky s kružnicí označíme A a B. Nad úsečkou MB sestrojíme obdélník o stranách délky |MB| a |MA|. Tento obdélník budeme v dalším textu pro jednoduchost nazývat "obdélník nad sečnou".
Shrnutí: Obsah popsaného obdélníka, tedy |MA|*|MB|, je nezávislý na volbě sečny, je určen pouze polohou bodu M vzhledem ke kružnici.
Poznámka: Formální důkaz lze najít např. v [1] str. 81-82 (pomocí podobnosti trojúhelníků).
Číslo vyjádřené obsahem popsaného obdélníka se vyskytuje v geometrii v různých souvislostech a významech. Má vlastní jméno, "mocnost bodu ke kružnici". S předchozím značením (bod M, kružnice k, průsečíky sečny a kružnice A,B) ho můžeme definovat např. takto:
Mocnost bodu M ke kružnici k (značeno m(M,k)) je:
m(M,k) = |MA| * |MB| pro M ležící vně kružnice nebo na kružnici k
m(M,k) = - |MA| * |MB| pro M ležící uvnitř kružnice k.
Poznámka: Důvod, proč se mocnost bodů uvnitř kružnice definuje jako záporná, vyplyne logicky z dalších vlastností. Pro tento okamžik lze hledat vysvětlení v tom, že pokud je bod M uvnitř kružnice, jsou vektory MA a MB opačné.
Vyjdeme z předchozího příkladu. Pokusíme se najít vztah mezi délkami |MA|, |MB| na straně jedné a v = |SM|, r = poloměr kružnice k na straně druhé. Všimneme si případu, kdy sečnu vedeme bodem M tak, aby procházela středem kružnice S - viz rys.
Z rysu je patrné, že |MA| = |v-r| a |MB| = v+r.
Důsledek: Víme, že součin |MA|*|MB| nezávisí na volbě sečny. Uvědomíme-li si, že v-r < 0 <=> M je uvnitř kružnice, můžeme definovat mocnost bodu M ke kružnici k jako:
m(M,k) = (v-r) * (v+r) = v2 - r2
Tato definice vychází pouze ze dvou jednoduchých veličin, vzdálenosti bodu M od středu kružnice a poloměru kružnice, nevyžaduje konstrukci sečen. Na následujícím rysu lze pak dobře ukázat, že mocnost bodu uvnitř kružnice je záporná, na kružnici nulová a vně kružnice kladná.
Mějme kružnici k se středem S a bod M ležící mimo kružnici. Bodem M vedeme jednu z tečen na kružnici k, dotykový bod označíme T. Zkusíme najít a dokázat vztah mezi délkou části tečny |MT| a mocností bodu m(M,k).
m(M,k) = |MT|2,
který plyne z Pythagorovy věty pro trojúhelník STM: r2 + |MT|2 = v2.
Získali jsme tak další význam mocnosti bodu, resp. způsob jak mocnost bodu definovat, i když zatím jen pro body vně kružnice. Jak najít mocnost bodu analogickým způsobem i pro body uvnitř kružnice ukážeme dále.
Tento rys názorně ukazuje souvislost mezi |MT|2, tedy obsahem čtverce nad úsečkou MT, a mocností bodu z pohledu první definice (obsah obdélníka nad sečnou). Když budeme posouvat bod B po kružnici k bodu T, sečna se bude blížit tečně, |MA| se bude blížit |MB| a obdélník bude čím dál tím podobnějším čtverci, až nakonec přesně splyne se čtvercem sestrojeným nad úsečkou MT. Tak mohou studenti sami odvodit vztah m(M,k) = |MT|2 již z prvního motivačního příkladu.
Při definici mocnosti bodu pomocí čtverce nad úsečkou MT jsme narazili na problém, že tečnu umíme sestrojit pouze z bodu ležícího vně kružnice. Nyní zkusíme najít způsob, jak analogicky definovat mocnost i pro body ležící uvnitř kružnice.
V předchozím rysu jsme si všimli, že jak volíme sečnu blíže tečně, obdélník nad sečnou získává tvar stále bližší čtverci až nakonec přesně splyne se čtvercem zkonstruovaným nad částí tečny MT. Zkusíme provést to samé, tedy zvolit sečnu tak, aby z obdélníka nad ní vznikl čtverec, ovšem s bodem M uvnitř kružnice. Vyjdeme opět z prvního rysu.
Pokusíme se bod B umístit na kružnici tak, aby z obdélníka nad sečnou vznikl čtverec, tedy |MA| = |MB|. Můžeme totéž zopakovat pro různé polohy bodu M uvnitř kružnice. Pokud postupujeme dobře, měli bychom si všimnout, že |MA| = |MB| právě tehdy, když tětiva AB je kolmá na úsečku SM. Jinými slovy, M půlí tětivu AB.
Důsledek: Chceme-li geometricky vyjádřit mocnost bodu M ke kružnici k a bod M leží uvnitř kružnice, zvolíme sečnu z bodu M tak, aby přímka AB byla kolmá na přímku MS. Pak lze vyjádřit mocnost bodu M jako
m(M,k) = - |MA|2.
Přímka MA je pak hledanou analogií tečny pro případ, kdy je bod M uvnitř kružnice. Všimněme si, že to je tečna v bodě M na kružnici se středem S a poloměrem SM.
Pro lepší názornost označíme bod A jako T a vytvoříme zjednodušený rys:
Na tomto rysu je zajímavé zkusit "přecházet" s bodem M zevnitř kružnice ven a naopak. Při tom je dobře patrné, jak tečna plynule přechází v část tětivy.
Z Pythagorovy věty pro pravoúhlý trojúhelník SMT je pak i zřejmá platnost vztahu
v2 - r2 = -|MT|2
(pro bod M uvnitř kružnice).
Nakonec pro shrnutí ve zkratce zopakujeme zde uvedené definice mocnosti bodu ke kružnici:
Dána úsečka AB, |AB| = 7 cm. Na úsečce leží bod M tak, že |AM| = 4 cm. Dále mimo úsečku AB leží bod C tak, že |MC| = 2,5 cm (není tedy určen jednoznačně). Nechť k je kružnice opsaná trojúhelníku ABC a D je druhý průsečík přímky MC s kružnicí k. Určete vzdálenost |MD|.
Řešení:
Zadání příkladu naznačuje, že vzdálenost |MD| je konstantní, nezávislá na poloze bodu C (která není určena jednoznačně). To lze v rysu Cabri snadno ověřit. Pohybem bodu C měníme i polohu bodu D a lze pozorovat, že bod D se pohybuje po kružnici se středem v bodě M. Pro zvýraznění má bod D zapnutou stopu, vykreslí tak kolem bodu M kružnici.
Pro určení |MC| využijeme mocnosti bodu M ke kružnici k. Úsečky AB a CD jsou sečnami kružnice k a obě procházejí bodem M. Musí pro ně tedy platit rovnost |AM|*|MB| = |DM|*|MC|. Z tohoto vztahu již snadno získáme, že |DM| = 12 / 2,5 = 4,8 cm.
Jsou dány dvě kružnice k1(S1,r1), k2(S2,r2). Kružnice se protínají pod pravým úhlem, tzn. tečny vedené z průsečíku kružnic jsou na sebe kolmé. Jakou mocnost má bod S1 ke kružnici k2 a bod S2 ke kružnici k1?
Řešení:
Zde je již hotový rys odpovídající zadání. Pomocí posuvníku pod rysem je možné "přehrát" jeho konstrukci - vychází se z jedné kružnice, na ní se libovolně určí body, kde budou průsečíky s druhou kružnicí, zkonstruují se tečny druhé kružnice a z nich se najde její střed.
Určení mocností bodů je na tomto rysu zřejmé při použití definice pomocí délky tečen. Hned dostaneme:
m(S1,k2) = r12
m(S2,k1) = r22.
Jsou libovolně dány dvě kružnice k1 a k2 a bod M. Pokuste se najít všechny možné pozice bodu M, ve kterých se rovnají jeho mocnost ke kružnici k1 a mocnost ke kružnici k2, tedy m(M,k1) = m(M,k2).
Řešení:
Budeme pohybovat bodem M a přitom sledovat, jak se mění obě mocnosti a pokusíme se najít ty polohy bodu M, kde jsou si mocnosti rovny. Vyzkoušíme pro různé konfigurace kružnic (mimo sebe, protínající se, jedna uvnitř druhé, soustředné).
Mají-li kružnice společné právě dva body, hledanou množinou je přímka, která těmito body prochází. Pokud mají společný jediný bod, množinou je přímka vedená tímto bodem a kolmá na spojnici středů S1S2. Pokud kružnice nemají žádný společný bod a jsou nesoustředné, je hledanou množinou bodů přímka kolmá na osu S1S2, její přesnou pozicí se nebudeme nyní zabývat. V případě soustředných kružnic s různým poloměrem úloha nemá řešení, vyplývá to např. ze vztahu
v2 - r12 = v2 - r22
neboť vzdálenost v od středu kružnic je v obou případech stejná, ale poloměr kružnic je rozdílný.
Měňte objekty zadání a přesvědčete se, že úloha má vždy řešení.
| [ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] |
Poslední úprava této stránky: 2016-02-11 Zoran Bonuš |