Důkaz: sporem

Pro spor budeme předpokládat, že existuje posloupnost , která má dvě různé limity, tedy

lim a_n = A  a  lim a_n = B  , kde  AB. 

Dále budeme předpokládat, že  A<B.

Z definice víme, že 

Oba tyto výroky musí platit pro všechna , tedy i pro

Položíme-li n₀=max(n_A,n_B), pak tedy pro všechna nn₀ musí a_n "ležet" zárověň v červeném i modrém pásu. 

Důkaz: 

Předpokládejme, že existuje posloupnost je konvergentní a platí 

lim a_n = A  

Potom potom z definice plyne 

Z čísel a_i , kde i =1...n₀-1  najdeme minimum a označíme ho d, potom z nich najdeme maximum a označíme ho h.

Potom bude pro každé přirozené n platit

a_n = min(A - , d)   a zároveň   a_n = max(A - , h) 

Důkaz: z definice

Chceme tedy ukázat, že k libovolnému najdeme takové n₀, že pro všechny členy posloupnosti a_n =1/n , n₀-tým členem počínaje bude platit

|1/n - 0| <

1/n <

n < 1/  , tedy pro dané  vždy najdeme takové n₀ a to například n₀ = 1/ + 1

Druhý vztah se dokáže podobně.

Důkaz: z definice

(a_n) a (b_n) jsou konvergentní posloupnosti a lim a_n = A  a  lim b_n = B, z definice tedy plyne

> 0 je dáno, položme  n₀=max(n_A,n_B)  a  _A = _B = /2

1.   | (a_n + b_n) - (A + B)| = | a_n - A + b_n - B | | a_n - A | + | b_n - B | < _A + _B =

2.   | (a_n -  b_n) - (A - B)| = | a_n - A + (B - b_n) | | a_n - A | + | b_n - B | < _A + _B =

3.   posloupnost a_n je konvergentní, tady je omezená => |a_n| < K

položme  _A = /2K  a _B = /2|B|

| (a_nb_n) - (AB)| = | a_nb_n - a_nB + a_nB - AB | = | a_n(b_n - B) + B(a_n - A) | | a_n(b_n - B) | + | B(a_n - A) | = | a_n|.|(b_n - B)|  + |B|.|(a_n - A) | < _A + _B = 

4.   položme  _A = /|c|

| ca_n - cA | = |c|.| a_n - A | < c._A =

Důkaz:  

1.  q = 0  ------>  a_n = 0  ------>  lim a_n = 0

2.  q 0  ------>  a_n = a₁ q^{n - 1}  

------>  lim a_n = lim a₁ q^n - 1 = lim a₁ 1/q . lim qⁿ = a₁ 1/q . 0 = 0

Důkaz: matematickou indukcí

1.  n = 1  ------>  a₁ = a₁ + (1 - 1) d

1.  n = k  ------>  a_k = a₁ + (k - 1) d

a_k+1 = a₁ + (k + 1 - 1) d

a_k+1 = a₁ + kd  ------> k tomuto chceme dospět

--------------------------------------------------

------>  z definice:    a_k+1= a_k + d

------>  induk. před:  a_k+1= a₁ + (k - 1) d + d = a₁ + kd

Důkaz:  

s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

tento součet si přepíšeme dvěma způsoby ...

s_n = a₁ + (a₁+ d) + (a₁+ 2d) + (a₁+ 3d) + ... + (a₁+ (n - 1)d)

s_n = (a₁+ (n - 1)d) + (a₁+ (n - 2)d) + (a₁+ (n - 3)d) + ... + (a₁+ d) + a₁

... a oba řádky sečteme ...

2s_n = (2a₁+ (n - 1)d) + (2a₁+ (n - 1)d) + ... + (2a₁+ (n - 1)d)

... a už jen upravit ...

2s_n = n(a₁+ a₁+ (n - 1)d) = n(a₁ + a_n)

Důkaz: matematickou indukcí

1.  n = 1  ------>  a₁ = a₁ q^{1 - 1}

1.  n = k  ------>  a_k = a₁ q^k - 1

a_k+1 = a₁ q^{k +1 - 1}

a_k+1 = a₁ q^k  ------> k tomuto chceme dospět

--------------------------------------------------

------>  z definice:    a_k+1= a_k q

------>  induk. před:  a_k+1= a₁ q^{k - 1} q = a₁ q^k

Důkaz:  

1. q = 1

s_n = a₁ + a₁ + a₁ + ... + a₁= n a₁

2. q 1

s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n

tento součet si přepíšeme pomocí vztahu k-tého a prvního členu ...

s_n = a₁ + (a₁ q) + (a₁ q²) + (a₁ q³) + ... + (a₁ q^n-1)

... rovnost vynásobíme q ...

s_n q = (a₁ q) + (a₁ q²) + (a₁ q³) + ... + (a₁ q^n-1) + (a₁ qⁿ)

... a oba řádky od sebe odečteme ...

s_n - s_n q = a₁ - (a₁ qⁿ)

... a už jen upravit ...

s_n (1 - q) = a₁ (1 - qⁿ)

Důkaz:  

|q| < 1   ---------> (qⁿ) je konvergentní a lim qⁿ = 0

Jak bude tedy vypadat limita posloupnosti (s_n) ...

Odvození:

Ze znalosti vzorce (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ víme ...

(n + 1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

        n³ = (n - 1)³ + 3(n - 1)² + 3(n - 1) + 1

(n - 1)³ = (n - 2)³ + 3(n - 2)² + 3(n - 2) + 1

        ...

        2³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1

... všechny tyto rovnosti sečteme ...

... a postupně upravíme pomocí již známých vzorců ...