Jistě jste si všimli, že jsme se zatím zabývali jen jednoduchými větami. Jazyk matematické logiky ale potřebuje výroky spojovat a vytvářet tak větší celky, stejně jako běžná řeč. Avšak není to tak jednoduché – matematika musí být přesná, a tak i způsob spojování výroků musí být přesně nadefinován.
Ke spojování výroků se používají logické spojky. Pokud spojíme dva výroky pomocí logické spojky, výsledkem bude opět výrok. Můžeme tak vytvářet i velmi složité celky, které budou stále výrokem. Aby nějaké tvrzení bylo výrokem, musí odpovídat definici výroku. Jak je to tedy s těmito spojkami?
Když si vzpomeneme na definici výroku, zjistíme, že potřebujeme, aby u vzniklého celku mělo smysl zabývat se jeho pravdivostí. Logické spojky jsou navrženy právě tak, že přesně říkají, jaké bude pravdivostní ohodnocení výsledného výroku v závislosti na pravdivostním ohodnocení dílčích výroků, ze kterých je složen. Lze se tedy pravdivostí výsledného tvrzení nejen zabývat, ale pokud ji známe u dílčích výroků, můžeme ji i snadno určit. Výroku, který vznikl právě spojením jiných výroků pomocí logických spojek, říkáme složený výrok.
Dále se podíváme na nejčastěji používané logické spojky a jejich použití.
Pod pojmem konjunkce si můžeme představit obdobu spojky „a“, kterou známe z běžné řeči, a také ji tak budeme číst. Její význam si osvětlíme na příkladu. Vezměme např. dva následující výroky:
Po jejich spojení pomocí konjunkce (tedy vlastně spojky „a“) vznikne věta:
„V Lázních Jeseník právě prší a ve Velimi právě fouká silný vítr.“
Taková věta sice není stylisticky ideálním českým souvětím, její význam je však zřejmý. Chceme-li zapsat konjunkci dvou výroků A a B, používá se obvykle jedno z následujících značení (my se budeme držet toho prvního): A ∧ B; A & B.
A jak je to s pravdivostí, resp. pravdivostním ohodnocením takového složeného výroku? Jak už jsme si řekli, pro každou spojku jsou dána určitá pravidla vycházející z pravdivostní hodnoty dílčích výroků. Pro konjunkci platí následující:
Konjunkce je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé oba spojované dílčí výroky. Jinak je nepravdivá.
Jinak řečeno, aby byla konjunkce pravdivá, musí být pravdivé oba spojované výroky. Pokud je pravdivý jen jeden nebo dokonce žádný, konjunkce je nepravdivá.
Pro upřesnění dodejme, že pojem „konjunkce“ v tomto textu používáme ve dvou významech – jednak pro pojmenování vlastní spojky, jednak pro pojmenování výsledného spojení (vzniklého výroku). Význam konkrétního použití vyplývá z kontextu, např. mluvíme-li o pravdivosti konjunkce, jde o výsledný výrok, ale mluvíme-li o tom, že konjunkci čteme „a současně“, jde o spojku. S názvy ostatních logických spojek budeme pracovat obdobným způsobem.
V matematických větách se konjunkce obvykle čte jako „a současně“. Zápis „3 < 5 ∧ 5 < 7“ tedy přečteme jako:
„Číslo tři je menší než číslo pět a současně číslo pět je menší než číslo sedm.“
Tento výrok o přirozených číslech je pravdivý, protože oba dílčí výroky jsou také pravdivé. Pokud bychom jeden z nich vyměnili za výrok nepravdivý (například s obrácenou nerovností), byla by už celá konjunkce nepravdivá.
Někdy se pro zjednodušení práce používá zápis pravdivostního ohodnocení pomocí tabulky, které se říká tabulka pravdivostních hodnot. Výhody tohoto zápisu poznáme, až budeme zjišťovat pravdivostní ohodnocení u složitějších výroků. Metoda spočívá v tom, že si rozepíšeme všechna možná ohodnocení dílčích výroků a podle toho vyplňujeme ohodnocení u složitějších výroků. Snadno tak zjistíme, pro jakou „konfiguraci“ pravdivostního ohodnocení dílčích výroků je výsledný výrok pravdivý či nepravdivý. Ukažme si to u konjunkce:
| A | B | A ∧ B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Když si tabulku pozorně prohlédneme, zjistíme, že jsou zde opravdu uvedeny všechny možné kombinace ohodnocení výroků A a B. Budeme-li potom tabulku procházet po řádcích, zjistíme, jak je na tom ohodnocení našeho složeného výroku pro jednotlivé případy ohodnocení výroků dílčích.
Další spojka, kterou se budeme zabývat, se jmenuje disjunkce a je to vlastně spojka „nebo“. V běžném jazyce se většinou spojka „nebo“ používá ve smyslu vylučovacím. V matematické logice je to trochu jinak, ukažme si to opět na příkladu. Budeme mít dva výroky:
Pokud tyto výroky spojíme pomocí disjunkce, získáme souvětí:
„K prvnímu nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo ke druhému nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona.“
To by se dalo upravit na stylisticky méně kostrbatý (a trochu méně přesný) tvar, např.:
„K prvnímu nástupišti nádraží Praha–Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo v tutéž dobu přijel ke druhému nástupišti vlak Eurocity Vindobona.“
Takové tvrzení může říci třeba někdo, kdo si nemůže vzpomenout, který z těchto dvou vlaků v danou dobu přijel, ale ví, že některý z nich to byl. Pak bychom tvrzení chápali (a obvykle v běžné mluvě chápeme) tak, že v danou dobu přijel jen jeden z těchto vlaků. Takový přístup ukazuje vylučovací význam této spojky („buď jeden, nebo druhý“). V matematice je to ale jinak, zde připouštíme i situaci, že nastanou obě varianty současně, tedy v našem případě přijedou oba vlaky současně. Přesněji řečeno:
Disjunkce dvou výroků je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý alespoň jeden ze spojovaných výroků.
Tuto definici opět můžeme zachytit také tabulkou pravdivostních hodnot, ale chybí nám k tomu jedna drobnost – nevíme, jak disjunkci značit. Hned to napravíme. Disjunkce dvou výroků A a B se zapíše pomocí znaku podobného malému tiskacímu písmenu „v“: A ∨ B.
| A | B | A ∨ B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Vidíme, že jediným případem, kdy disjunkce neplatí, je stav, kdy oba spojované výroky jsou nepravdivé. Ve všech ostatních případech je disjunkce pravdivá. Ukažme si ještě jeden příklad disjunkce s matematickými výrazy: „(5∈N) ∨ (5∈Z)“.
Takový zápis bychom mohli přečíst jako: „Číslo pět je prvkem množiny přirozených čísel nebo číslo pět je prvkem množiny celých čísel.“
Tento výrok je pravdivý, protože dokonce oba spojované výroky jsou pravdivé. Víme, že číslo 5 je přirozené i celé. Uvedené závorky zatím nejsou naprosto nutné (později poznáme složitější výroky, u nichž bude nutné rozlišit přednost jednotlivých spojek), ale zvyšují přehlednost zápisu.
Dostáváme se ke spojce, jejíž pochopení může být náročnější. Nemá totiž jasný vzor v běžném jazyce. K prostému spojení dvou vět pomocí této spojky se používá sousloví „z toho plyne“. Avšak mnohem častěji se implikace do běžné řeči „překládá“ jako vazba „jestliže – pak“. Z toho by mohlo být vidět, že jsme se dostali k první spojce, u níž záleží na pořadí výroků. U konjunkce i disjunkce bylo jedno, zda jsme psali nejdříve první výrok a potom druhý nebo naopak. Spojením jsme získali výrok stejného významu i pravdivostního ohodnocení. Implikace se chová jinak, při změně pořadí výroků se změní nejen význam výsledného výroku, ale často i jeho pravdivostní ohodnocení. Zkusme si opět spojit dva výroky:
Teď je v uvedeném pořadí spojíme – zkusíme to oběma způsoby, které jsme si ukázali:
„V Berouně prší, z toho plyne, že hladina Berounky v Berouně stoupá.“
„Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá.“
Obě věty by se jistě daly ještě upravit, aby zněly o něco lépe, ale to není účelem našeho zkoumání. U spojení těchto výroků se zdá být lepší druhý způsob spojení, ale mohou nastat situace, kdy tomu bude naopak. Podívejme se, co se stane, prohodíme-li pořadí výroků:
„Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší.“
Věta získala zcela jiný význam. Zatímco původní věta říkala, že když prší, stoupne hladina vody, ta druhá nám tvrdí, že když stoupne voda, musí nutně v Berouně pršet (a to rozhodně nemusí být pravda). U implikací tedy musíme dbát na pořadí spojovaných výroků. A jak je to s pravdivostním ohodnocením implikace?
Implikace je pravdivá pravě tehdy, když jsou oba spojované výroky pravdivé nebo když je první výrok nepravdivý.
Neboli: Implikace není pravdivá jen v případě, že první výrok je pravdivý a zároveň druhý je nepravdivý.
Pro zachycení těchto informací pomocí tabulky pravdivostních hodnot opět potřebujeme značení. Ke spojení výroků A a B pomocí implikace se používá zvláštní dvojitá šipka: A ⇒ B.
Takový zápis můžeme číst mnoha způsoby:
| A | B | A ⇒ B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Implikace je velmi často používaným výrokem v celé matematice, mnohdy totiž potřebujeme vyjádřit, že nějaký fakt plyne z jiného. Její pochopení je proto velmi důležité.
Další obtížnější spojkou je ekvivalence. Pokud výroky A a B spojíme pomocí ekvivalence, čteme takové spojení jedním z následujících způsobů:
Značení takového spojení je podobné implikaci, ale šipku uděláme oběma směry: A ⇔ B.
A co vlastně znamená, že dva výroky jsou ekvivalentní? Stručně řečeno, nemusí být stejné, ale jejich „důsledek“ je stejný. Ukažme si to na příkladu:
Vidíme, že význam obou vět je stejný, jen bylo použito různých synonym. Nemusíme však zůstat u takto jednoduchého příkladu ekvivalence, protože pouhá záměna slov pomocí synonym by nám v matematice mnoho užitku nepřinesla. Ukažme si ještě jinou dvojici výroků.
Zaměnili jsme dva termíny, které označují tutéž vlastnost čísla. I tentokrát bychom mohli hovořit o pouhém využití synonym. V matematice můžeme narazit i na podstatně složitější formulace, zatím ovšem nemáme dostatečné znalosti k jejich studiu.
Teď už bychom měli mít alespoň rámcovou představu o významu ekvivalence a můžeme se podívat na její pravdivostní ohodnocení:
Ekvivalence je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo když jsou oba výroky nepravdivé.
| A | B | A ⇔ B |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Z tabulky je dobře vidět, že u ekvivalence (stejně jako u konjunkce a disjunkce) je možné zaměnit pořadí výroků. Jedinou spojkou, se kterou jsme se zatím seznámili a u které je nutné dbát na pořadí výroků, je implikace.
| Název spojky | Značení | Čtení |
|---|---|---|
| konjunkce | A ∧ B | „…a…“, „…a současně…“ |
| disjunkce | A ∨ B | „…nebo…“ |
| implikace | A ⇒ B | „Jestliže…, pak…“ |
| ekvivalence | A ⇔ B | „…právě tehdy, když…“ |