Kapitola 1
Výroky

Výrok

První termín z matematické logiky, kterým se budeme zabývat je takzvaný výrok. Za výrok budeme považovat tvrzení, u kterého má smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé. Zároveň je nutné dodat, že se budeme zabývat tvrzeními samostatně a nebudeme uvažovat, že se vyskytují v textu v nějakém kontextu. Každé tvrzení pro nás tedy bude samostatným celkem. Vše si nejdříve vysvětlíme na větách z obyčejného života a postupně přejdeme i k větám matematickým, kde lze i přesněji říci, co je pravda a nepravda (slovo lež se v matematické logice nepoužívá). Ale nebudeme předbíhat a nejdříve si ukážeme pár příkladů:


"V roce 1998 hokejová reprezentace České republiky získala zlatou medaili na olympijských hrách v Naganu."
Tato věta je výrok. Dokonce pravdivý, jeho pravdivost si můžeme snadno ověřit nahlédnutím do historických sportovních tabulek.
 
"Český král a římskoněmecký císař Karel IV. vládl v 18. století."
I tato věta je výrok, i když nepravdivý. To, že není pravdivý, se asi každý dozvěděl v dějepisu.

^0Karel.jpg^
Karel IV.
 
"4 < 5"
Opět máme před sebou výrok. Na první pohled to nevypadá jako oznamovací věta, ale když tento matematický zápis přečteme, zjistíme, že tomu tak je. Naše čtení může vypadat následovně: "Číslo čtyři je menší než číslo pět." A máme oznamovací větu, u které lze jednoznačně určit její pravdivost.

Ale abychom dobře pochopili, co přesně výrok je, ukážeme si několik vět, které výroky nejsou:

"Sedni si!"
Výše uvedená věta je rozkaz. Výrokem není, protože u rozkazu nemá smysl uvažovat, zda je pravdivý nebo nepravdivý. Můžeme jen přemýšlet, zda bude či nebude splněn, ale s tím už nemá matematická logika nic společného.

"Co je dnes k obědu?"
Při hlubším zamyšlení zjistíme, že ani u otázek nemá valný smysl zabývat se jejich pravdivostí.
^0Obed.jpg^
Co je dnes k obědu?
 

"Ať se máme všichni dobře!"
Z jazykového hlediska je tento celek větou přací. Ani u vět přacích však nemá smysl ptát se na jejich pravdivost. Opět se můžeme maximálně ptát, zda se nám přání splní.

Prohlédneme-li si předchozí tři příklady, zjistíme, že jediný typ věty, který připadá v úvahu jako výrok, je věta oznamovací. Rozkaz, otázka ani věta přací výrokem být nemůže. Ale ani všechny oznamovací věty nejsou výroky.

"Učitel má v ruce křídu."
Možná vás napadá, že tato věta by mohla být výrokem. Vždyť přeci má smysl uvažovat o pravdivosti tohoto tvrzení. Ale to je trochu zcestné. My totiž nevíme, o jakém učiteli tato věta mluví. Matematika vyžaduje přesnost a na začátku kapitoly jsme si řekli, že nebudeme u výroků zohledňovat fakt, že by mohly být zapojeny v nějakém kontextu. Proto nevíme, na kterého z milionů učitelů se podívat. Věta výrokem není.

"x > 10"
Přečteme-li si tento matematický zápis, dostaneme opět oznamovací větu. Ale co dosadit za x? To nevíme, nemáme to nikde specifikováno. Věta tedy opět není dostatečně přesná. Abychom mohli hovořit o pravdivosti takové věty, museli bychom vzít v úvahu nějaké další informace a to jsme si "zakázali".

Zjistili jsme, že při posuzování toho, co je výrok, budeme muset dávat dobrý pozor na to, zda nám věta přináší dostatek informací pro úvahu o její pravdivosti.

Pravdivostní ohodnocení výroku

Tímto termínem budeme označovat přiřazení pravdivostní hodnoty výroku. A co je to ono "přiřazení"? Zkrátka u každého výroku řekneme, zda je pravdivý nebo nepravdivý, a pravdu vyznačíme číslem 1, nepravdu číslem 0. Jaký smysl má takové konání? Představme si třeba větu:
"V Dolních Dunajovicích právě teď prší."
U takové věty umíme jistě rozhodnout, zda je nebo není pravdivá (stačí si do uvedené vesnice zavolat), a můžeme ji tedy považovat za výrok. Ale jeho pravdivost se mění podle počasí. Pokud bychom s tímto výrokem měli dále pracovat, potřebovali bychom vědět, zda je či není pravdivý. A odpověď nám dá právě pravdivostní ohodnocení. Teď si ale zase ukážeme několik příkladů:

Trzení: Ohodnocení:
"Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník." 1
"Slovo rostlina označuje totéž, co slovo živočich." 0
"Evropská unie má více než 15 členských zemí." 1
"Československá televize začala vysílat v roce 1953." 1
"Nejvyšší povolená rychlost vozidel v obci je v ČR stanovena na 60km/h." 0
"Demokracie je totalitní zřízení." 0
"Posvátnou knihou muslimů je korán." 1
"Číslo 3 patří do množiny reálných čísel." 1
"5,12 = 18,1" 0
"-5 + 3 < 154" 1
"Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice je ekvivalentní úprava." 1



Negace výroku

Negací výroku budeme rozumět výrok, který popírá pravdivost výroku původního. Můžeme si ji představit jako tvrzení opačné k výroku původnímu a to právě z hlediska jeho pravdivosti. Pravdivostní ohodnocení negace výroku musí být vždy opačné k pravdivostnímu ohodnocení výroku původního. Nejjednodušší způsob, jak z výroku vyrobit jeho negaci je přidání formulace: "Není pravda, že..." Další možností je ovšem vytvoření výroku nového s opačnou "pravdivostí". Pokud vyrábíme z výroku jeho negaci, říkáme, že výrok negujeme. Ukázka na příkladech nám pomůže k lepšímu porozumění pojmu negace:

Výrok: Negace:
"Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník." ""Není pravda, že na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník."
Na státní vlajce České republiky není modrý trojúhelník."
"Číslo 1 je záporné." "Není pravda, že číslo 1 je záporné."
"Číslo 1 není záporné."
"Číslo 1 je nezáporné."
"Číslo 0,5 patří do množiny celých čísel." "Není pravda, že číslo 0,5 patří do množiny celých čísel."
"Číslo 0,5 nepatří do množiny celých čísel."
"V Dobřichovicích je právě teď bezvětří." "Není pravda, že v Dobřichovicích je právě teď bezvětří."
"V Dobřichovicích není právě teď bezvětří."
"V Dobřichovicích právě teď vane vítr."
"V Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo." "Není pravda, že v Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo."
"V Praze na Žižkově včera ve 13:00 nepršelo."

Vidíme, že pravdivost výroků v posledním řádku tabulky je proměnlivá s počasím, ale přesto jsme dokázali vytvořit negaci. Tvorba negací tedy nezávisí na pravdivostním ohodnocení původního výroku. Proč jsme nepoužili negaci ve tvaru "V Praze na Žižkově včera ve 13:00 svítilo slunce."? Takový výrok by totiž nebyl negací původního. Představme si situaci, kdy by na Žižkově ve zmiňované době bylo zataženo, ale bez deště. V takovém případě by původní výrok i uvedený návrh negace byly nepravdivé. Ale my jsme si řekli, že výrok a jeho negace musí mít vždy navzájem opačné pravdivostní ohodnocení.

Ještě bychom si měli říci, co nastane, jestliže výrok znegujeme dvakrát. Pak se dostaneme k původnímu výroku, u kterého jsme s negováním začínali.



Značení

Zatím jsme hovořili jen o konkrétních výrocích, pokud jsme na ně potřebovali odkázat, používali jsme výrazy "poslední výrok v tabulce" a podobně. To je poněkud zdlouhavé a navíc některá pravidla potřebujeme vyjádřit obecně pro všechny výroky. Dohodněme se tedy, že pro značení výroků budeme používat velká tiskací písmena většinou ze  začátku abecedy. Pak můžeme říci, že máme nějaký výrok A, a pod tímto jménem o něm dále hovořit. A jak zapíšeme, že pravdivostní ohodnocení výroku A je 1? Následovně:

^Ohodnoceni.bmp^
Tedy pro označení ohodnocení výroku budeme používat malé v. Ještě jsme v této kapitole mluvili o negaci výroku. I ta má své značení. Používají se různé značky, my pro negaci výroku A budeme používat následující zápis:
^Negace.bmp^

Co už bychom měli znát?