Kapitola 2
Logické spojky

Na co spojky?

Jistě jste si všimli, že jsme se zatím zabývali jen větami jednoduchými. Matematika - stejně jako běžná řeč - potřebuje věty spojovat a vytvářet tak z nich větší celky. Není to ale tak jednoduché - matematika musí být přesná, a tak i význam logických spojek je přesně nadefinovanován. Jedním z nejdůležitějších poznatků je fakt, že pokud spojíme dva výroky pomocí logické spojky, dostaneme opět výrok. Můžeme tak vytvářet i velmi složité celky, které budou opět výrokem. Proč to tak funguje? Když si vzpomeneme na definici výroku, zjistíme, že potřebujeme, aby u vzniklého celku mělo smysl zabývat se jeho pravdivostí. Logické spojky jsou navrženy právě tak, že přesně říkají, jaké bude pravdivostní ohodnocení výsledného výroku, podle toho, jaké je pravdivostní ohodnocení dílčích výroků. Lze se tedy pravdivostí nejen zabývat, ale pokud ji známe u dílčích výroků, můžeme ji i snadno určit. Výroku, který vznikl spojením jiných výroků pomocí logických spojek, říkáme složený výrok.
 

Konjunkce

Pod tímto názvem si můžeme představit spojku "a". Vezměme třeba výroky:
1) "V Lázních Jeseník právě prší."
2) "Ve Velimi právě fouká silný vítr."

Po spojení pomocí konjunkce vznikne věta:
"V Lázních Jeseník právě prší a ve Velimi právě fouká silný vítr."

Nezní to zrovna jako ideálně formulované české souvětí, ale význam je asi jasný. Chceme-li zapsat konjunkci dvou výroků A a B, používá se obvykle jedno z následujících značení (my se budeme držet toho prvního):

A jak je to s pravdivostí, resp. pravdivostním ohodnocením? Jak už jsme si řekli, pro každou spojku jsou dána určitá pravidla vycházející z dílčích výroků. Pro konjunkci platí následující:

Konjunkce je pravdivá právě tehdy, když jsou pravdivé oba spojované dílčí výroky. Jinak je nepravdivý.

Někdy se používá zápis pravdivostního ohodnocení pomocí tabulky, které se říká tabulka pravdivostních hodnot. Výhody tohoto zápisu poznáme, až budeme analyzovat pravdivostní ohodnocení u složitějších výroků. Metoda spočívá v tom, že si rozepíšeme všechna možná ohodnocení dílčích výroků a podle toho vyplňujeme ohodnocení u složitějších výroků. Ukažme si to u konjunkce:
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Když si tabulku pozorně prohlédneme, zjistíme, že jsou zde opravdu uvedeny všechny možné kombinace ohodnocení výroků A a B. Budeme-li potom tabulku procházet po řádcích, zjistíme, jak je na tom ohodnocení našeho složeného výroku pro jednotlivé případy.

V matematických větách se pak tato spojka obvykle čte jako "a současně".
Zápis
tedy přečteme jako: "Číslo tři je menší než číslo pět a současně číslo pět je menší než číslo sedm."
Výrok je pravdivý, protože oba dílčí výroky jsou také pravdivé. Pokud bychom jeden z nich vyměnili za výrok nepravdivý (například s obrácenou nerovností), byla by už celá konjunkce nepravdivá.

Disjunkce

Další spojka, kterou se budeme zabývat, je spojka "nebo". Pro spojení výroků pomocí této spojky se používá název disjunkce. V běžném jazyce se většinou spojka "nebo" používá ve smyslu vylučovacím. V matematické logice je to trochu jinak, ukažme si to na příkladu. Budeme mít dva výroky:
1) "K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan."
2) "Ke druhému nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona."

Pokud je spojíme pomocí disjunkce, získáme větu:
"K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo ke druhému nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona."

Ta by se v rámci stylistiky dala upravit na méně kostrbatý (a trochu méně přesný) tvar:
"K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo v tutéž dobu přijel ke druhému nástupišti vlak Eurocity Vindobona."


K prvnímu nástupišti...

Takové tvrzení může říci třeba někdo, kdo si nemůže vzpomenout, který z těchto dvou vlaků v danou dobu přijel, ale ví, že jeden z nich to byl. Pak bychom to chápali (a obvykle to tak v běžné mluvě chápeme) tak, že v danou dobu přijel jen jeden z těchto vlaků - to je právě vylučovací význam této spojky (buď jeden, nebo druhý). V matematice je to ale jinak, zde připouštíme i situaci, že nastanou obě varianty současně, tedy v našem případě přijedou oba vlaky současně. Jinak řečeno:

Disjunkce dvou výroků je pravdivá právě tehdy, když je pravdivý alespoň jeden ze spojovaných výroků.

Tuto definici opět můžeme zachytit tabulkou pravdivostních hodnot, ale chybí nám k tomu malý detail - nevíme, jak disjunkci značit. Hned to napravíme. Disjunkce dvou výroků A a B se zapíše pomocí znaku podobného malému tiskacímu písmenu "v":

A teď již slibovaná tabulka:
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0

Vidíme, že jediným případem, kdy disjunkce neplatí, je stav, kdy oba spojované výroky jsou nepravdivé. Ve všech ostatních případech je disjunkce pravdivá. Ještě si ukažme jeden příklad disjunkce s matematickými výrazy:
Takový zápis bychom mohli přečíst jako:
"Číslo pět je prvkem množiny přirozených čísel nebo číslo pět je prvkem množiny celých čísel."

Tento výrok je pravdivý, protože dokonce oba spojované výroky jsou pravdivé. Víme, že číslo 5 je přirozené i celé. Uvedené závorky zatím nejsou naprosto nutné (později poznáme složitější výroky, u nichž bude nutné rozlišit přednost jednotlivých spojek), ale zvyšují přehlednost zápisu.

Implikace

Dostáváme se ke složitější spojce. Nemá totiž jasný vzor v běžném jazyce. K prostému spojení dvou vět pomocí této spojky se používá sousloví "z toho plyne". Avšak mnohem častěji se implikace do běžné řeči "překládá" jako vazba "jestliže - pak". Z toho by mělo být zřejmé, že jsme se dostali k první spojce, u níž záleží na pořadí výroků. U konjunkce i disjunkce bylo jedno, zda jsme psali nejdříve první výrok a potom druhý nebo naopak. Spojením jsme získali výrok stejného významu. Implikace se chová jinak, při změně pořadí výroků se změní nejen význam výsledného výroku ale často i jeho pravdivostní ohodnocení. Zkusme si opět spojit dva výroky:
1) " V Berouně prší. "
2) " Hladina Berounky v Berouně stoupá. "

Teď je v uvedeném pořadí spojíme - zkusíme to oběma způsoby, které jsme si ukázali:
"V Berouně prší, z toho plyne, že hladina Berounky v Berouně stoupá."
"Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá."

Obě věty by se daly ještě upravit, aby zněly o něco lépe, ale to není účelem našeho zkoumání. U spojení těchto výroků se zdá být lepší druhý způsob spojení, ale mohou nastat situace, kdy tomu bude naopak. Podívejme se, co se stane, prohodíme-li pořadí výroků:
"Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší."

Věta získala zcela jiný význam. Zatímco původní věta říkala, že když prší, stoupne hladina vody, ta druhá nám tvrdí, že když stoupne voda, musí nutně v Berouně pršet (a to rozhodně nemusí být pravda). U implikací tedy musíme opravdu dbát na pořadí spojovaných výroků. A jak je to s pravdivostním ohodnocením implikace?

Implikace je pravdivá pravě tehdy, když jsou oba spojované výroky pravdivé nebo když je první výrok nepravdivý.

Neboli:

Implikace není pravdivá jen v případě, že první výrok je pravdivý a zároveň druhý je nepravdivý.


Pro zachycení těchto informací pomocí tabulky pravdivostních hodnot opět potřebujeme značení implikace. Ke spojení výroků A a B pomocí implikace se používá zvláštní dvojitá šipka:

Takový zápis můžeme číst mnoha způsoby:
"Výrok A implikuje výrok B."
"Výrok B plyne z výroku A."
"Z výroku A plyne výrok B."
"Jestliže platí výrok A, pak platí výrok B."
"Jestliže A, pak B."

Nyní se již můžeme podívat na tabulku pravdivostních ohodnocení:
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1

Implikace je velmi často používaným výrokem v celé matematice, mnohdy totiž potřebujeme vyjádřit, že nějaký fakt plyne z jiného.

Ekvivalence

Další obtížnější spojkou je ekvivalence. Pokud výroky A a B spojíme pomocí ekvivalence, čteme takové spojení jedním z následujících způsobů:
"A právě když B."
"A právě tehdy, když B."
"A tehdy a jen tehdy, když B."
"Výrok A je ekvivalentní s výrokem B."
"Výroky A a B jsou ekvivalentní."

Značení takového spojení je podobné implikaci, ale šipku uděláme oběma směry:


A co vlastně znamená, že dva výroky jsou ekvivalentní? Stručně řečeno, nemusí být stejné, ale jejich "důsledek" je stejný. Ukažme si to na příkladu:

1) "Česká televize uvede pozítří ve 20:00 film Kolja."
2) "Veřejnoprávní televize v ČR bude pozítří v osm hodin večer vysílat film Kolja."


Česká televize uvede...

Vidíme, že význam obou vět je stejný, jen bylo použito různých synonym. Nemusíme však zůstat u takto jednoduchého příkladu ekvivalence, protože pouhá záměna slov pomocí synonym by nám v matematice mnoho užitku nepřinesla. Ukažme si jěště jinou dvojici výroků.

1) "Ludolfovo číslo je iracionální."
2) "Ludolfovo číslo nelze zapsat zlomkem."

Zaměnili jsme dva termíny, které označují tutéž vlastnost čísla. I tentokrát bychom mohli hovořit o pouhém využití synonym. V matematice můžeme narazit i na podstatně složitější formulace, zatím ovšem nemáme dostatečné znlosti k jejich studiu. Teď už bychom měli mít alespoň rámcovou představu o významu ekvivalence a můžeme se podívat na její pravdivostní ohodnocení:

Ekvivalence je pravdivá právě tehdy, když jsou oba výroky pravdivé nebo když jsou oba výroky nepravdivé.

Neboli, řečeno tabulkou:
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Z tabulky je dobře vidět, že u ekvivalence je (stejně jako u konjunkce a disjunkce) možné zaměnit pořadí výroků. Jedinou spojkou, u které je nutné dbát na pořadí výroků, je implikace.

Negace logických spojek

Nadpis není přesný, negace totiž děláme pro výroky, nikoli pro spojky. Budeme se zabývat tím, jak znegovat výroky, které vznikly spojením nějakých dílčích výroků pomocí logických spojek. První možností je celý výrok uzavřít do závorek a před ně vložit znak negace (to bychom mohli srovnat s vložením formulace "není pravda že" před výrok). My ale budeme chtít znát přesnější vyjádření pomocí spojek, které jsme se už naučili, budeme chtít vyrobit zcela nový výrok, který bude popírat ten původní. Cest, jak se dostat k jeho vyjádření, existuje několik. My se pokusíme vyčíst vztahy z vlastních definic spojek a ověříme si naše poznatky pomocí tabulek pravdivostních hodnot. Pokud najdeme negaci, musí splňovat podmínku, že pro libovolné ohodnocení dílčích výroků je pravdivostní hodnota negace opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.

Negace konjunkce
Podíváme-li se, kdy je konjunkce nepravdivá, zjistíme, že stačí, aby jeden z výroků byl nepravdivý. To můžeme říci i trochu jinak: První nebo druhý výrok musí být nepravdivý ("nebo" uvažujeme v matematickém smyslu - mohou být nepravdivé i oba). Jestliže je výrok nepravdivý, jeho negace je pravdivá. Můžeme tedy přeformulovat naši myšlenku ještě takto: Negace prvního nebo druhého výroku je pravdivá. Neboli: Platí negace prvního výroku nebo negace výroku druhého. A jsme u cíle, přepišme si tuto frázi s pojmenovanými výroky A, B a v symbolice, kterou jsme si tu zavedli:


Pro ověření si ještě ukažme tabulku pravdivostních hodnot, která bude tentokrát obsahovat více sloupců. Pro větší přehlednost si totiž uvedeme ještě i pravdivostní ohodnocení negací obou dílčích výroků a jejich spojení pomocí konjunkce. Budeme-li mít před očima ohodnocení i těchto výroků, bude se nám lépe odvozovat ohodnocení právě vytvořené negace a posuzovat, zda její ohodnocení odpovídá:
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1

Ukážeme si ještě konkrétní příklad výroku:
"Číslo 10 patří do množiny reálných čísel a současně číslo 10 patří do množiny celých čísel."

Jeho negace:
"Číslo 10 nepatří do množiny reálných čísel nebo číslo 10 nepatří do množiny celých čísel."


Negace disjunkce
Zkusme opět zapátrat v paměti, abychom zjistili, kdy je spojení výroků pomocí disjunkce pravdivé a kdy nikoli. Disjunkce výroků A a B je nepravdivá jen v případě, kdy jsou oba spojované výroky nepravdivé. Tedy v případě, že výrok A je nepravdivý a současně výrok B je nepravdivý, neboli když platí negace výroku A a současně platí také negace výroku B. A máme výsledný výrok, stačí jej jen přepsat pomocí našeho značení:

Pro ověření si ještě ukažme tabulku pravdivostních hodnot obdobnou jako u negace konjunkce:
1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 1 0
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1


Negace implikace
Uvažujme následující implikaci:

Kdy je tato implikace nepravdivá? To už víme - když výrok A je pravdivý a současně výrok B je nepravdivý (neboli platí výrok A a negace výroku B). Opět stačí přepsat v řeči symbolů a ověřit tabulkou:

1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 1 0


Negace ekvivalence
Aby ekvivalence byla nepravdivá, musí se lišit ohodnocení dílčích výroků. To ale nedokážeme zachytit tak jednoduchými výroky, jakými jsme se dosud zabývali, a proto si toto téma ponecháme do příští kapitoly, kde se takovými výroky budeme zabývat.

Co už bychom měli umět?