Jistě jste si všimli, že jsme se zatím zabývali jen větami jednoduchými. Matematika - stejně jako běžná řeč - potřebuje věty spojovat a vytvářet tak z nich větší celky. Není to ale tak jednoduché - matematika musí být přesná, a tak i význam logických spojek je přesně nadefinovanován. Jedním z nejdůležitějších poznatků je fakt, že pokud spojíme dva výroky pomocí logické spojky, dostaneme opět výrok. Můžeme tak vytvářet i velmi složité celky, které budou opět výrokem. Proč to tak funguje? Když si vzpomeneme na definici výroku, zjistíme, že potřebujeme, aby u vzniklého celku mělo smysl zabývat se jeho pravdivostí. Logické spojky jsou navrženy právě tak, že přesně říkají, jaké bude pravdivostní ohodnocení výsledného výroku, podle toho, jaké je pravdivostní ohodnocení dílčích výroků. Lze se tedy pravdivostí nejen zabývat, ale pokud ji známe u dílčích výroků, můžeme ji i snadno určit. Výroku, který vznikl spojením jiných výroků pomocí logických spojek, říkáme složený výrok.
Pod tímto názvem si můžeme představit spojku "a". Vezměme třeba výroky:
1) "V Lázních Jeseník právě prší."
2) "Ve Velimi právě fouká silný vítr."
Po spojení pomocí konjunkce vznikne věta:
"V Lázních Jeseník právě prší a ve Velimi právě fouká silný vítr."
Nezní to zrovna jako ideálně formulované české souvětí, ale význam je asi jasný. Chceme-li zapsat konjunkci dvou výroků A a B, používá se obvykle jedno z následujících značení (my se budeme držet toho prvního):
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 0 |
Další spojka, kterou se budeme zabývat, je spojka "nebo". Pro spojení výroků pomocí této spojky se používá název disjunkce. V běžném jazyce se většinou spojka "nebo" používá ve smyslu vylučovacím. V matematické logice je to trochu jinak, ukažme si to na příkladu. Budeme mít dva výroky:
1) "K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan."
2) "Ke druhému nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona."
Pokud je spojíme pomocí disjunkce, získáme větu:
"K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo ke druhému nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel vlak Eurocity Vindobona."
Ta by se v rámci stylistiky dala upravit na méně kostrbatý (a trochu méně přesný) tvar:
"K prvnímu nástupišti nádraží Praha - Holešovice včera ve 12:20 přijel rychlík Vsacan nebo v tutéž dobu přijel ke druhému nástupišti vlak Eurocity Vindobona."
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 |
Dostáváme se ke složitější spojce. Nemá totiž jasný vzor v běžném jazyce. K prostému spojení dvou vět pomocí této spojky se používá sousloví "z toho plyne". Avšak mnohem častěji se implikace do běžné řeči "překládá" jako vazba "jestliže - pak". Z toho by mělo být zřejmé, že jsme se dostali k první spojce, u níž záleží na pořadí výroků. U konjunkce i disjunkce bylo jedno, zda jsme psali nejdříve první výrok a potom druhý nebo naopak. Spojením jsme získali výrok stejného významu. Implikace se chová jinak, při změně pořadí výroků se změní nejen význam výsledného výroku ale často i jeho pravdivostní ohodnocení. Zkusme si opět spojit dva výroky:
1) " V Berouně prší. "
2) " Hladina Berounky v Berouně stoupá. "
Teď je v uvedeném pořadí spojíme - zkusíme to oběma způsoby, které jsme si ukázali:
"V Berouně prší, z toho plyne, že hladina Berounky v Berouně stoupá."
"Jestliže v Berouně prší, pak hladina Berounky v Berouně stoupá."
Obě věty by se daly ještě upravit, aby zněly o něco lépe, ale to není účelem našeho zkoumání. U spojení těchto výroků se zdá být lepší druhý způsob spojení, ale mohou nastat situace, kdy tomu bude naopak. Podívejme se, co se stane, prohodíme-li pořadí výroků:
"Jestliže hladina Berounky v Berouně stoupá, pak v Berouně prší."
Věta získala zcela jiný význam. Zatímco původní věta říkala, že když prší, stoupne hladina vody, ta druhá nám tvrdí, že když stoupne voda, musí nutně v Berouně pršet (a to rozhodně nemusí být pravda). U implikací tedy musíme opravdu dbát na pořadí spojovaných výroků. A jak je to s pravdivostním ohodnocením implikace?
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 |
Další obtížnější spojkou je ekvivalence. Pokud výroky A a B spojíme pomocí ekvivalence, čteme takové spojení jedním z následujících způsobů:
"A právě když B."
"A právě tehdy, když B."
"A tehdy a jen tehdy, když B."
"Výrok A je ekvivalentní s výrokem B."
"Výroky A a B jsou ekvivalentní."
Značení takového spojení je podobné implikaci, ale šipku uděláme oběma směry:
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 |
Nadpis není přesný, negace totiž děláme pro výroky, nikoli pro spojky. Budeme se zabývat tím, jak znegovat výroky, které vznikly spojením nějakých dílčích výroků pomocí logických spojek. První možností je celý výrok uzavřít do závorek a před ně vložit znak negace (to bychom mohli srovnat s vložením formulace "není pravda že" před výrok). My ale budeme chtít znát přesnější vyjádření pomocí spojek, které jsme se už naučili, budeme chtít vyrobit zcela nový výrok, který bude popírat ten původní. Cest, jak se dostat k jeho vyjádření, existuje několik. My se pokusíme vyčíst vztahy z vlastních definic spojek a ověříme si naše poznatky pomocí tabulek pravdivostních hodnot. Pokud najdeme negaci, musí splňovat podmínku, že pro libovolné ohodnocení dílčích výroků je pravdivostní hodnota negace opačná než pravdivostní hodnota původního výroku.
Negace konjunkce
Podíváme-li se, kdy je konjunkce nepravdivá, zjistíme, že stačí, aby jeden z výroků byl nepravdivý. To můžeme říci i trochu jinak: První nebo druhý výrok musí být nepravdivý ("nebo" uvažujeme v matematickém smyslu - mohou být nepravdivé i oba). Jestliže je výrok nepravdivý, jeho negace je pravdivá. Můžeme tedy přeformulovat naši myšlenku ještě takto: Negace prvního nebo druhého výroku je pravdivá. Neboli: Platí negace prvního výroku nebo negace výroku druhého. A jsme u cíle, přepišme si tuto frázi s pojmenovanými výroky A, B a v symbolice, kterou jsme si tu zavedli:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |