Soustava rovnic

Soustavou rovnic rozumíme několik rovnic, které mají platit zároveň. V naší práci budeme uvažovat pouze soustavy dvou rovnic, které budou obsahovat dvě neznámé
x, ~y \in R. Připomeneme si, co znamená vyřešit soustavu rovnic.

Vyřešit soustavu dvou rovnic s neznámými x, y \in R znamená určit
všechny dvojice neznámých x, y, pro které platí obě rovnosti.

Domluvíme se, že dvojice neznámých budeme zapisovat do hranatých závorek, kde na první pozici bude hodnota neznámé x a na druhé pozici hodnota neznámé y. Řeší-li tedy soustavu rovnic čísla x=5 a y=-1, potom množina kořenů
K=\{[5,-1]\}.

Postup při řešení soustavy rovnic

Jednotlivé rovnice budeme upravovat pomocí ekvivalentích úprav včetně těch, které jsme zavedli v této práci (porovnání exponentů, porovnání argumentů a logaritmování). Zbývá si připomenout metody, pomocí kterých ze dvou rovnic získáme jednu rovnici o jedné neznámé.

U soustav exponenciálních a logaritmických rovnic využijeme metodu dosazovací. Uvedeme zde postup, jak touto metodou vyřešit soustavu dvou rovnic o dvou neznámých v několika krocích:

  1. Určíme podmínky, za kterých jsou všechny výrazy v rovnici definovány.
  2. Z jedné rovnice ekvivalentními úpravami vyjádříme libovolnou neznámou.
  3. Tuto neznámou dosadíme do druhé rovnice (vznikne jedna rovnice s jednou neznámou).
  4. Pomocí ekvivalentních úprav vyřešíme tuto rovnici (získáme hodnotu jedné neznámé a ověříme zda splňuje podmínky řešitelnosti).
  5. Dosadíme hodnotu této neznámé do jedné z rovnic, které obsahují obě neznámé (s výhodou lze využít rovnici, kterou jsme získali ve druhém kroku našeho postupu).
  6. Pomocí ekvivalentních úprav vyřešíme tuto rovnici (získáme hodnotu druhé neznámé a ověříme, zda splňuje podmínky řešitelnosti).
  7. Určíme množinu všech kořenů soustavy rovnic K.