Aplikace logaritmických vět
Další logaritmické nerovnice nejrve upravíme pomocí logaritmických vět a následně je budeme řešit porovnáním argumentů. Stejný postup jsme zvolili při řešení logaritmických rovnic.
Součet a rozdíl logaritmů
V prvních dvou příkladech ukážeme, jak se řeší logaritmické nerovnice, ve kterých se vyskytuje součet nebo rozdíl několika logaritmů. V těchto příkladech využíváme poučku, že součet logaritmů je logaritmus součinu a rozdíl logaritmů je logaritmus podílu za předpokladu, že všechny výrazy jsou definovány.
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v nerovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x^2+6>0 a x>0.
- Definiční obor nerovnice D=(0,+\infty).
- Výraz na pravé straně nerovnice obsahuje součet dvou logaritmů se stejným základem. Součet logaritmů je logaritmus součinu:
P(x)=\log_\frac{1}{6}x+\log_\frac{1}{6}5=\log_\frac{1}{6} 5x. - Nerovnici \log_\frac{1}{6}(x^2+6)\leq \log_\frac{1}{6} 5x řešíme porovnáním argumentů. Protože je základ logaritmu menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici x^2+6\geq5x, která je ekvivalentní s nerovnicí x^2-5x+6\geq0.
- Nerovnici převedeme na součinový tvar (x-2)(x-3)\geq 0 a vyřešíme s pomocí číselné osy. Řešením je sjednocení intervalů (-\infty,2>\cup<3,+\infty).
- Na číselné ose určíme průnik definičního oboru a řešení předchozí nerovnice.
- Množina všech kořenů původní nerovnice K=(0,2>\cup<2,+\infty).
Zápis řešení:
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v nerovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x+5>0 a 3-x>0.
- Definiční obor nerovnice D=(-5,3).
- Nejprve převedeme číslo 1 na logaritmus o základu 7:
P(x)=1=\log_7 7. - Výraz na levé straně nerovnice obsahuje rozdíl dvou logaritmů se stejným základem. Rozdíl logaritmů je logaritmus podílu:
L(x)=\log_7(x+5)-\log_7(3-x)=\log_7 \frac{x+5}{-3-x}. - Nerovnici \log_7 \frac{x+5}{-3-x} > \log_7 7 řešíme porovnáním argumentů. Protože je základ
logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti. - Získáme nerovnici \frac{x+5}{-3-x}>7, kterou vyřešíme.
- Od obou stran nerovnice odečteme číslo 7, abychom porovnávali výraz na levé straně nerovnice s nulou. Následně převedeme výraz na levé straně nerovnice na společného jmenovatele a získáme podílový tvar nerovnice:
\frac{8x-16}{3-x}>0, který vyřešíme pomocí číselné osy. - Řešením je interval (2,3).
- Na číselné ose určíme průnik definičního oboru a řešení předchozí nerovnice.
- Množina všech kořenů původní nerovnice K=(2,3).
Zápis řešení:
Násobek logaritmu
V dalších příkladech ukážeme, jak se řeší logaritmické nerovnice, kde se vyskytuje násobek nějakého logaritmu. V takových případech musíme násobek logaritmu převést do argumentu logaritmu podle poučky, že násobek logaritmu je logaritmus mocniny.
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v nerovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky
x-1>0, x^5>0, a x>0. - Definiční obor nerovnice D=(1,+\infty).
- Výraz na levé straně nerovnice upravíme podle věty o logaritmu mocniny:
L(x)=2\log(x-1)=\log(x-1)^2=\log(x^2-2x+1). - Výraz v závorce na pravé straně nerovnice nejprve upravíme pomocí věty o logaritmu podílu následně aplikujeme větu o logaritmu mocniny:
P(x)=\frac{1}{2}(\log x^5 - \log x)=\frac{1}{2}\log \frac{x^5}{x}=\frac{1}{2}\log x^4=\log (x^4)^\frac{1}{2}=\log x^2. - Nerovnici \log(x^2-2x+1)\geq \log x^2 řešíme porovnáním argumentů. Protože je základ logaritmu větší než jedna, neotáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici x^2-2x+1\geq x^2, která je ekvivalentní s nerovnicí x \leq \frac{1}{2}.
- Na číselné ose určíme průnik definičního oboru a řešení předchozí nerovnice.
- Množina všech kořenů původní nerovnice K=\emptyset.
Zápis řešení:
Řešte nerovnici s neznámou x \in R:
- Výrazy v nerovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky
x-1>0, x+1>0 a x-2>0. - Definiční obor nerovnice D=(2,+\infty).
- Nejprve upravíme výraz 3\log_\frac{1}{3}2 pomocí věty o logaritmu mocniny:
3\log_\frac{1}{3}2=\log_\frac{1}{3}2^3=\log_\frac{1}{3}8. - Abychom se vyvarovali následného řešení nerovnice se zlomky, upravíme nerovnici tak, aby se v ní vyskytovaly pouze součty logaritmů. Přičteme proto k výrazům na obou stranách nerovnice \log_\frac{1}{3}(x-1)+\log_\frac{1}{3}(x-2) :
\log_\frac{1}{3}8 +\log_\frac{1}{3}(x-2)\leq \log_\frac{1}{3}(x+1)+ \log_\frac{1}{3}(x-1). - Následně využijeme větu o logaritmu součinu:
\log_\frac{1}{3}8(x-2) \leq \log_\frac{1}{3}(x+1)(x-1). - Nerovnici \log_\frac{1}{3}8(x-2) \leq \log_\frac{1}{3}(x+1)(x-1) vyřešíme porovnáním argumentů. Protože je základ logaritmu menší než jedna, otáčíme znak nerovnosti.
- Získáme nerovnici 8(x-2) \geq (x+1)(x-1), která je ekvivalentí s nerovnicí
x^2-8x+15 \leq 0. - Nerovnici převedeme na součinový tvar (x-3)(x-5)\geq 0 a vyřešíme s pomocí číselné osy. Řešením je interval <3,5>.
- Na číselné ose určíme průnik definičního oboru a řešení předchozí nerovnice.
- Množina všech kořenů původní nerovnice K=<3,5>.
Zápis řešení:
