Exponenciální nerovnice

Exponenciální nerovnicí nazýváme každou nerovnici, ve které je neznámá v exponentu nějaké mocniny.

Na exponenciální nerovnice lze nahlížet i jinak. Exponenciální nerovnice vznikne z exponenciální rovnice nahrazením symbolu rovnosti = jedním ze symbolů nerovnosti <, >, \leq, \geq.

Připomeneme si , co znamená vyřešit nerovnici.

Vyřešit nerovnici s neznámou x \in R znamená určit všechny hodnoty neznámé x, pro které platí daná nerovnost.

Při řešení nerovnice mohou nastat různé případy při určování množiny všech kořenů. Často půjde o nekonečně mnoho čísel, které zapisujeme pomocí intervalu či jejich sjednocení. Např. nerovnici x <5 s neznámou x \in R vyhovují čísla z intervalu (-\infty,5). Množina všech kořenů této nerovnice je tedy K=(-\infty,5).

Postup při řešení nerovnice

Postup při řešení nerovnic se bude skládat ze stejných kroků jako postup při řešení rovnic:

  1. Určíme obor řešení nerovnice O.
  2. Určíme definiční obor nerovnice D .
  3. Řešíme nerovnici s využitím ekvivalentních úprav.
  4. Určíme množinu všech kořenů nerovnice K.

Upozorníme na několik drobností, ve kterých se liší řešení rovnic a nerovnic.

Liší se ekvivalentí úpravy rovnic a nerovnic:

Ekvivalentními úpravami nerovnici upravíme na tvar, ze kterého můžeme určit řešení. Mezi takové jednoduché tvary patří:

Zbývá určit množinu všech kořenů K. Do množiny všech kořenů patří takové hodnoty neznámé x získané v předchozím kroku, které leží v definičním oboru nerovnice. Pokud jsou definičním oborem všechna reálná čísla, potom je množina všech řešení K~ rovna řešení, získanému ekvivalentními úpravami nerovnice (typické pro exponenciální nerovnice a zcela výjimečné pro logaritmické nerovnice).