Úpravy rovnic
V této kapitole ukážeme další úpravy, které lze využít při řešení logaritmických rovnic. Využijeme další věty o logaritmech a připomeneme si úpravu logaritmování, kterou jsme využívali při řešení exponenciálních rovnic.
U některých rovnic je nutné převést neznámou do argumentu logaritmu, abychom následně mohli porovnat argumenty. K tomu využijeme vztah mezi exponenciální a logaritmickou funkcí. Víme, že logaritmická funkce je inverzní funkcí k exponenciální funkci. Pro přípustné hodnoty základu a platí, že x=\log_a a^x.
Tuto úpravu využijeme v následujícím příkladu. Jedná se o rovnici, ve které se vyskytuje neznámá zároveň v argumentu logaritmu i v exponentu mocniny.
- K určení definičního oboru bychom museli řešit exponenciální nerovnici. Proto definiční obor neurčíme a na konci příkladu uděláme zkoušku.
- Abychom mohli porovnat exponenty, musíme všechny výrazy v rovnici převést na logaritmus o základu 3:
1 = \log_3 3,
2x=2\log_3 3^x=\log_3 3^{2x}. - V rovnici \log_3(10\cdot 3^x-3) - \log_3 3 = \log_3 3^{2x} upravíme výraz na levé straně rovnice pomocí věty o logaritmu podílu.
- Získáme rovnici \log_3\frac{10\cdot 3^x-3}{3}= \log_3 3^{2x}, ve které porovnáme argumenty.
- Ekvivalentní rovnici \frac{10\cdot 3^x-3}{3}= 3^{2x} řešíme pomocí substituce 3^x=a.
- Rovnici \frac{10a-3}{3}= a^2 s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=\frac{1}{3}, a_2=3.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem 3^x.
- Rovnice 3^{x_1}=\frac{1}{3}, 3^{x_2}=3 vyřešíme porovnáním exponentů.
- Řešením jsou čísla x_1=-1, x_2=1, pro která musíme udělat zkoušku:
L(-1)=\log_3(\frac{10}{3}-3)-1=\log_3\frac{1}{3}-1=-1-1=-2
P(-1)=-2
L(1)=\log_3(30-3)-1=\log_3 27 -1=2-1=2
P(1)=2
- L(-1)=P(-1) a L(1)=P(1), proto K=\{-1,1\}.
Zápis řešení:
Zatím jsme řešili rovnice, ve kterých byl základ všech logaritmů stejný. Může se ale stát, že se v rovnici vyskytují logaritmy s různými základy. Při řešení takových rovnic musíme nejprve převést všechny logaritmy na stejný základ. Využijeme větu o podílu logaritmů: Pro přípustně hodnoty základu a a argumenty r, s je
\log_s r=\frac{\log_a r}{\log_a s}.
Základ logaritmu a může být libovolný přípustný. Volíme ho tak, abychom touto úpravou rovnici co nejvíce zjednodušili.
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud je splněna podmínka x>0.
- Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
- Nejprve převedeme výraz \log_{\frac{1}{2}}x na logaritmus o základu 2:
\log_{\frac{1}{2}}x=\frac{\log_2 x}{\log_2 \frac{1}{2}}=\frac{\log_2 x}{-1}=-\log_2x. - Rovnici \log_2 x +2\log_2x=9 upravíme a vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením je x=8.
- Číslo 8 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{8\}.
Zápis řešení:
Stejné tvrzení jako v předchozím odstavci využijeme při řešení rovnic, kde se neznámá vyskytuje v základu nějakého logaritmu.
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x-2>0 a x-2\neq 1.
- Definiční obor rovnice D=(2,3)\cup(3,+\infty).
- Nejprve převedeme neznámou ze základu logaritmu \log_{x-2}9 do argumentu:
\log_{x-2}9=\frac{\log_3 9}{\log_3(x-2)}=\frac{2}{\log_3(x-2)}. - Rovnici \frac{2}{\log_3(x-2)}=2 upravíme a vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením je x=5.
- Číslo 5 leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{5\}.
Zápis řešení:
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud jsou splněny podmínky x>0 a x\neq 1.
- Definiční obor rovnice D=(0,1)\cup(1,+\infty).
- Nejprve převedeme neznámou ze základu logaritmu \log_x 2 do argumentu:
\log_x 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 x}=\frac{1}{\log_2 x}. - Dále převedeme \log_4 x na logaritmus se základem 2:
\log_4 x=\frac{\log_2x}{\log_2 4}=\frac{\log_2x}{2}. - V rovnici \frac{\log_2x}{2}-\frac{1}{\log_2 x}=\frac{7}{6} nahradíme všechny výrazy \log_2 x novou neznámou a.
- Rovnici \frac{a}{2}-\frac{1}{a}=\frac{7}{6} s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=-\frac{2}{3}, a_2=3.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_2 x.
- Rovnice \log_2 x_1=-\frac{2}{3}, \log_2 x_2=3 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=2^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}}, x_2=8.
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{\frac{1}{\sqrt[3]{4}},8\}.
Zápis řešení:
Poslední úprava, kterou budeme využívat, je logaritmování. Jedná se o stejnou úpravu jako v případě exponenciálních rovnic. Některé složitější rovnice lze totiž logaritmováním převést na tvar, který umíme vyřešit.
- Výrazy v rovnici jsou definovány, pokud je splněna podmínka x>0.
- Definiční obor rovnice D=(0,+\infty).
- Logaritmujeme rovnici x^{\log_3 x}=9x logaritmem o základu 3:
\log_3 x^{\log_3 x}=\log_3 9x. - Upravíme výrazy na obou stranách rovnice:
L(x)=\log_3 x^{\log_3 x}=\log_3 x \cdot \log_3 x=\log^2_3 x,
P(x)=\log_3 9x=\log_3 9+\log_3x=2+\log_3x. - V rovnici \log^2_3 x=2+\log_3x nahradíme všechny výrazy \log_3 x novou neznámou a.
- Rovnici a^2=2+a s neznámou a \in R vyřešíme.
- Řešením rovnice jsou čísla a_1=2, a_2=-1.
- Zpětně nahradíme neznámou a výrazem \log_3 x.
- Rovnice \log_3 x_1=2, \log_3 x_2=-1 vyřešíme porovnáním argumentů.
- Řešením jsou čísla x_1=9, x_2=\frac{1}{3}.
- Obě čísla leží v definičním oboru rovnice, proto K=\{9,\frac{1}{3}\}.
Zápis řešení:
