Vzorce pre goniometrické funkcie


Základné vzťahy medzi goniometrickými funkciami rovnakého argumentu

Veta

Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \sin^2 x + \cos^2 x = 1

Pre každé reálne x \not= k{\large \pi \large \over 2}; k \in \mathbb{Z}, platí: {\rm tg}\: x \cdot {\rm cotg}\: x = 1

Goniometrické funkcie dvojnásobného argumentu

Veta

Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \sin 2x = 2\sin x \cos x

Pre každé x \in \mathbb{R} platí: \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x

Pre každé reálne x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x \not= (2k + 1){\large \pi \over 4}; k \in \mathbb{Z} platí: {\rm tg}\: 2x = {\large 2 {\rm tg}\: x \over \large 1 - {\rm tg^2}\: x}

Goniometrické funkcie súčtu a rozdielu argumentov

Veta

Pre každé dve reálne čísla x a y platí:

\sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y

\sin (x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

\cos (x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y

\cos (x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y

Pre každé dve reálne čísla, kde

x \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, x + y \not= (2k + 1) {\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= 1, k \in \mathbb{Z}

platí: {\rm tg}\: (x + y) = {\large {\rm tg}\: x + {\rm tg}\: y \over \large 1 - {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}

Pre každé dve reálne čísla, kde x - y \not= (2k + 1){\large \pi \over 2}, {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y \not= -1, k \in \mathbb{Z}, platí:

{\rm tg}\: (x - y) = {\large {\rm tg}\: x - {\rm tg}\: y \over \large 1 + {\rm tg}\: x \cdot {\rm tg}\: y}

Vzorce pre súčet a rozdiel hodnôt funkcií sínus a kosínus

Veta

Pre každé dve reálne čísla x a y platí:

\sin x + \sin y = 2\sin {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}

\sin x - \sin y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}

\cos x + \cos y = 2\cos {\Large x + y \over \large 2}\cos {\Large x-y \over \large 2}

\cos x - \cos y = -2\sin {\Large x + y \over \large 2}\sin {\Large x-y \over \large 2}

Goniometrické funkcie poloviny argumentu

Veta

Pre každé x \in \mathbb{R} platí: |\sin {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 - \cos x \over 2}

Pre každé x \in \mathbb{R} platí: |\cos {\large x \over 2}| = \sqrt {\large 1 + \cos x \over 2}

Pre každé reálne číslo x \not= (2k + 1)\pi, k \in \mathbb{Z}, platí: |{\rm tg}\: \large \frac {x} {2} | = \sqrt {\frac {1 - \cos x} {1+ \cos x}}

Poznámka

Všetky dôkazy týchto základných vzorcov môžme nájsť v diplomovej práci Goniometrie a trigonometrie.