Kombinační čísla
Úlohy
Odkazy na úlohy podle témat:
Kombinační čísla
Pascalův trojúhelník
Binomická věta
Kombinační čísla
Úloha 4.1
Výsledky:
a) 28
b) 28
c) 120
d) 455
Úloha 4.2
Jediným kombinačním číslem vyjádřete tyto součty:
Výsledky:
Použijeme vlastnosti
| ( | n
k | ) |
+ |
( | n
k + 1 | ) |
= |
( | n + 1
k + 1 | ) |
Úloha 4.3
Vyjádřete jediným kombinačním číslem:
| ( | 5
5 | ) |
+ | ( | 6
5 | ) |
+ | ( | 7
5 | ) |
+ | ( | 8
5 | ) |
+ | ( | 9
5 | ) |
Výsledek:
| ( | 5
5 | ) |
= 1 = |
( | 6
6 | ) |
, dále použijeme vlastnost |
| ( | n
k | ) |
+ |
( | n
k + 1 | ) |
= |
( | n + 1
k + 1 | ) |
Úloha 4.4
Určete součet:
| ( | 2
2 | ) |
+ | ( | 3
2 | ) |
+ | ( | 4
2 | ) |
+ | ( | 5
2 | ) |
+ | … |
+ | ( | 19
2 | ) |
+ | ( | 20
2 | ) |
Úloha 4.5
V množině přirozených čísel řešte rovnice s neznámou
x:
| d) | |
( | x − 1
x − 3 | ) |
+ |
( | x − 2
x − 4 | ) |
= 9 |
| e) | |
( | x + 1
2 | ) |
+ |
( | x
2 | ) |
= 4 |
( | n
n | ) |
, n je přirozené číslo |
| f) | |
( | x − 1
2 | ) |
− |
( | x
0 | ) |
= |
n! 2n
(n − 1) (n − 2)! |
· |
( | x
2 | ) |
, n ≥ 2 je přirozené číslo |
Výsledky:
a) {2}
b) {3}
c) {}
d) {5}
e) {2}
f) {5}
b)
| x(x − 1) 2 |
+ | (x − 1)(x − 2) 2 |
= 4 |
c)
| x(x − 1) 2 |
+ | (x + 3)(x + 2) 2 |
= 4 |
| x1 = −1 − √2, x2 = −1 + √2 |
| Řešením mohou být pouze přirozená čísla, úloha tedy nemá řešení. |
d)
| ( | x − 1
x − 3 | ) |
+ |
( | x − 2
x − 4 | ) |
= 9 |
| (x − 1)(x − 2) 2 |
+ |
(x − 2)(x − 3) 2 |
= 9 |
e)
| ( | x + 1
2 | ) |
+ |
( | x
2 | ) |
= 4 |
( | n
n | ) |
, n je přirozené číslo |
| (x + 1)x 2 |
+ |
x(x − 1) 2 |
= 4 |
f)
| ( | x − 1
2 | ) |
− |
( | x
0 | ) |
= |
n! 2n
(n − 1) (n − 2)! |
· |
( | x
2 | ) |
, n ≥ 2 je přirozené číslo |
| ( | x − 1
2 | ) |
− 1 |
= |
1 2 |
· |
( | x
2 | ) |
| (x − 1)(x − 2) 2 |
− 1 |
= |
1 2 |
· |
x(x − 1) 2 |
Úloha 4.6
V množině přirozených čísel řešte nerovnice:
| a) | |
( | y + 1
2 | ) |
+ | ( | y + 4
2 | ) |
+ | ( | y + 7
2 | ) |
< 93 |
| b) | |
( | y
2 | ) |
+ | ( | y + 3
2 | ) |
+ | ( | y + 6
2 | ) |
< 100 |
Výsledky:
a) {1, 2, 3}
b) {2, 3, 4, 5}
c) {y ∈ N; y ≥ 2}
a)
| ( | y + 1
2 | ) |
+ | ( | y + 4
2 | ) |
+ | ( | y + 7
2 | ) |
< 93 |
| (y + 1)y 2 |
+ | (y + 4)(y + 3) 2 |
+ | (y + 7)(y + 6) 2 |
< 93 |
| Řešením jsou jen přirozená čísla, tedy čísla 1, 2, 3. |
b)
| ( | y
2 | ) |
+ | ( | y + 3
2 | ) |
+ | ( | y + 6
2 | ) |
< 100 |
| y(y − 1) 2 |
+ | (y + 3)(y + 2) 2 |
+ | (y + 6)(y + 5) 2 |
< 100 |
| Řešením jsou jen přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla 2, 3, 4, 5. |
c)
| (y + 2)(y + 1) 2 |
≥ |
y(y − 1) 2 |
+ 1 |
| Řešením jsou přirozená čísla větší než jedna, tedy čísla 2, 3, 4, 5, … |
Pascalův trojúhelník
Úloha 4.7
Napište devátý řádek Pascalova trojúhelníku (oba tvary).
Výsledek:
| ( | 8
0 | ) | |
( | 8
1 | ) | |
( | 8
2 | ) | |
( | 8
3 | ) | |
( | 8
4 | ) | |
( | 8
5 | ) | |
( | 8
6 | ) | |
( | 8
7 | ) | |
( | 8
8 | ) |
| |
| 1 | |
8 | |
28 | |
56 | |
70 | |
56 | |
28 | |
8 | |
1 |
Úloha 4.8
Desátý řádek Pascalova trojúhelníku má tvar
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.
Odvoďte z něj následující (jedenáctý) řádek Pascalova trojúhelníku.
Výsledek:
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Binomická věta
Úloha 4.9
Podle binomické věty rozveďte:
a) (a + b)5
b) (a − b)5
Výsledky:
a) a5 + 5 a4b
+ 10 a3b2
+ 10 a2b3
+ 5 ab4
+ b5
b) a5 − 5 a4b
+ 10 a3b2
− 10 a2b3
+ 5 ab4
− b5
Úloha 4.10
Vypočtěte podle binomické věty:
a) (x2 − 1)5
b) (√3 + √2)4
c) (√3 − i√3)6
d) (2a − 3b)5 + (2a + 3b)5
Výsledky:
a) x10 − 5x8 + 10x6
− 10x4 + 5x2 − 1
b) 49 + 20√6
c) 216 i
d) 64 a5 + 1 440 a3b2
+ 1 620 ab4
Úloha 4.11
Užitím binomické věty vypočítejte
a) 1,025
b) 0,985
a) 1,025 = (1 + 0,02)5
b) 0,985 = (1 − 0,02)5
Výsledky:
a) 1,104 080 803 2
b) 0,903 920 796 8
Úloha 4.12
Užitím binomické věty vypočítejte
s přesností na tři desetinná místa 1,057.
Výsledek: 1,407
Úloha 4.13
Určete:
a) třetí člen binomického rozvoje výrazu (x − 10)9
|
|
b) předposlední člen binomického rozvoje výrazu
(t + 10−2)20
| |
| c) pátý člen binomického rozvoje výrazu | |
( | y − |
2 √y |
) | 8 |
Výsledky:
a) 3 600 x7
b) 2t · 10−37
c) 1 120 y2
Úloha 4.14
Určete koeficient pátého členu výrazu
(x2 + √y)8.
Výsledek: 70
Úloha 4.15
Vypočtěte dva prostřední členy rozvoje výrazu
(3√x − 2x√x)19.
Výsledek:
| desátý člen … − 29 · |
( | 19
9 | ) |
x16 6√x5 |
| jedenáctý člen … 210 · |
( | 19
10 | ) |
x18 |
Úloha 4.16
Vypočítejte kladné číslo x, je-li
a) pátý člen rozvoje výrazu (1 + √x)10 roven 840,
b) sedmý člen rozvoje výrazu (x − i 3√2)10
roven −8,4.
Výsledky:
| a) pátý člen rozvoje výrazu (1 + √x)10 má tvar |
( | 10
4 | ) | 110 − 4 (√x)4 |
, po úpravě 210 x2 |
210
x2 = 840
x2 = 4
(
x − 2)(
x + 2) = 0
x1 = 2,
x2 = −2
x má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo 2.
| b) sedmý člen rozvoje výrazu (x − i 3√2)10 má tvar |
( | 10
6 | ) | x10 − 6
(− i 3√2)6 |
, po úpravě −840x4 |
− 840
x4 = −8,4
x4 = 0,01
(
x2 + 0,1)(
x2 − 0,1) = 0
x má být kladné číslo, proto dále hledáme kořeny rovnice
x2 − 0,1 = 0
(
x + √0,1)(
x − √0,1) = 0
x má být kladné číslo, řešením je proto jen číslo √0,1 = √(1/10) = (√10)/10.
Úloha 4.17
Kolikátý člen binomického rozvoje výrazu
| a) |
( | 3x2 − |
1 x |
) | 10 obsahuje x8, |
| b) |
( | x3 + |
1 x |
) | 12 neobsahuje x?
(Jde o tzv. absolutní člen.) |
Výsledky:
a) pátý člen
b) desátý člen
Úloha 4.18
Vypočítejte ten člen binomického rozvoje výrazu
| ( | √x + |
1 x |
) | 21 | , který neobsahuje x. |
Výsledek:
| ( | 21
7 | ) |
= 116 280 |
|
| k-tý člen binomického rozvoje daného výrazu má tvar |
( | 21
k − 1 | ) |
(√x)21 − (k − 1) |
( | 1 x |
) | k − 1 |
| po úpravě |
( | 21
k − 1 | ) |
x12 − 3k/2 |
Hledáme člen, který neobsahuje
x:
x12 − 3k/2 =
x0
12 − 3
k/2 = 0
k = 8.
Člen, který neobsahuje
x, je tedy osmý člen binomického rozvoje daného výrazu.
Hodnota osmého členu je:
| ( | 21
8 − 1 | ) |
= |
( | 21
7 | ) |
= 116 280. |
Úloha 4.19
Určete všechny členy binomického rozvoje výrazu
(7√7 + 5√5)24,
které jsou racionálními čísly.
Úloha 4.20
| V binomickém rozvoji výrazu |
( |
x√x + |
1 x4 |
)n |
je koeficient u třetího členu o 54 větší než koeficient u členu posledního.
Určete absolutní člen, tj. člen, který neobsahuje proměnnou
x.
Výsledek: n = 11,
absolutní člen má hodnotu 165.
* Úloha 4.21
Určete člen, který obsahuje x14 v rozvoji výrazu
(1 − x3)9 · (1 + x2)10.
Exponenty u mocnin x se při násobení sčítají.
Najděte člen rozvoje výrazu
(1 − x3)9
a člen rozvoje výrazu
(1 + x2)10,
které lze mezi sebou vynásobit tak, aby výsledek byl
c · x14
pro nějaké číslo c.
Výsledek: 8 940 x14
Všechny členy rozvoje výrazu (1 −
x3)
9
obsahují v exponentu mocniny
x číslo dělitelné třemi, můžeme
tedy tyto exponenty zapsat symbolicky 3
k,
k = 0, 1, …, 9.
Všechny členy rozvoje výrazu (1 +
x2)
10
obsahují v exponetu mocniny
x sudé číslo, můžeme tedy tyto exponenty zapsat
symbolicky 2
l,
l = 0, 1, …, 10.
Všechny členy v prvním rozvoji se násobí se všemi členy druhého rozvoje,
exponenty u mocnin
x se při násobení sčítají. Zjistíme tedy,
jaké hodnoty můžeme dosadit za
k a
l tak, aby platilo
3k + 2l = 14:
14 = 3·0 + 2·7
14 = 3·2 + 2·4
14 = 3·4 + 2·1
Hledáme tedy první, třetí a pátý člen rozvoje výrazu
(1 −
x3)
9
a osmý, pátý a druhý člen rozvoje výrazu
(1 +
x2)
10.
Každé dva odpovídající členy vynásobíme
a vzniklé tři výsledky sečteme.
|
| · |
|
= 120 x14 |
|
| · |
|
= 7 560 x14 |
|
| · |
|
= 1 260 x14 |
120
x14 + 7 560
x14
+ 1 260
x14 = 8 940
x14
Úloha 4.22
Vypočítejte:
| ( | 18
0 | ) | + |
( | 18
1 | ) | + |
( | 18
2 | ) |
+ … + |
( | 18
17 | ) | + |
( | 18
18 | ) |
Výsledek: 218 = 262 144
Úloha 4.23
Dokažte, že číslo 1110 − 1
je dělitelné číslem 100.
Důkaz:
11
10 − 1 = (10 + 1)
10 − 1 =
| | = |
( | 10
0 | ) | 1010 + |
( | 10
1 | ) | 109 + |
( | 10
2 | ) | 108 |
+ … + |
( | 10
8 | ) | 102 + |
( | 10
9 | ) | 10 + |
( | 10
10 | ) |
− 1 = |
| | = |
( | 10
0 | ) | 1010 + |
( | 10
1 | ) | 109 + |
( | 10
2 | ) | 108 |
+ … + |
( | 10
8 | ) | 102 + |
( | 10
9 | ) | 10 + |
1 |
− 1 = |
| | = |
( | 10
0 | ) | 1010 + |
( | 10
1 | ) | 109 + |
( | 10
2 | ) | 108 |
+ … + |
( | 10
8 | ) | 102 + |
( | 10
9 | ) | 10 |
= |
| | = |
( | 10
0 | ) | 1010 + |
( | 10
1 | ) | 109 + |
( | 10
2 | ) | 108 |
+ … + |
( | 10
8 | ) | 102 + |
10 · 10 |
= |
| | = 102 |
[ |
( | 10
0 | ) | 108 + |
( | 10
1 | ) | 107 + |
( | 10
2 | ) | 106 |
+ … + |
( | 10
8 | ) | + |
1 |
] |
= |
| |
= 100 k, kde k je přirozené číslo. |
Úloha 4.24
Užitím binomické věty dokažte, že číslo
62n − 1 je pro každé přirozené
číslo n dělitelné sedmi.
Důkaz:
1. způsob
6
2n − 1 = (7 − 1)
2n − 1 =
| | = |
( | 2n
0 | ) | 72n − |
( | 2n
1 | ) | 72n − 1 + |
( | 2n
2 | ) | 72n − 2 − |
( | 2n
3 | ) | 72n − 3 |
+ … + |
( | 2n
2n − 1 | ) |
7 · (−1)2n − 1 + |
( | 2n
2n | ) |
(−1)2n |
− 1 = |
| | = |
( | 2n
0 | ) | 72n − |
( | 2n
1 | ) | 72n − 1 + |
( | 2n
2 | ) | 72n − 2 − |
( | 2n
3 | ) | 72n − 3 |
+ … + |
( | 2n
2n − 1 | ) |
7 · (−1)2n − 1 + |
1 |
− 1 = |
| | = |
( | 2n
0 | ) | 72n − |
( | 2n
1 | ) | 72n − 1 + |
( | 2n
2 | ) | 72n − 2 − |
( | 2n
3 | ) | 72n − 3 |
+ … + |
( | 2n
2n − 1 | ) |
7 · (−1)2n − 1 |
= |
| | = 7 |
[ |
( | 2n
0 | ) | 72n − 1 − |
( | 2n
1 | ) | 72n − 2 + |
( | 2n
2 | ) | 72n − 3 − |
( | 2n
3 | ) | 72n − 4 |
+ … + |
( | 2n
2n − 1 | ) |
(−1)2n − 1 |
] |
= |
| |
= 7 k, kde k je celé číslo. |
Pro každé přirozené číslo
n tedy platí
62n − 1 = 7 k,
daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo
n dělitelný sedmi.
2. způsob
6
2n − 1 = 36
n − 1 =
(35 + 1)
n − 1 =
| | = |
( | n
0 | ) | 35n + |
( | n
1 | ) | 35n − 1 + |
( | n
2 | ) | 35n − 2 |
+ … + |
( | n
n − 1 | ) | 35 + |
( | n
n | ) |
− 1 = |
| | = |
( | n
0 | ) | 35n + |
( | n
1 | ) | 35n − 1 + |
( | n
2 | ) | 35n − 2 |
+ … + |
( | n
n − 1 | ) | 35 + |
1 |
− 1 = |
| | = |
( | n
0 | ) | 35n + |
( | n
1 | ) | 35n − 1 + |
( | n
2 | ) | 35n − 2 |
+ … + |
( | n
n − 1 | ) | 35 |
= |
| | = 35 |
[ |
( | n
0 | ) | 35n − 1 + |
( | n
1 | ) | 35n − 2 + |
( | n
2 | ) | 35n − 3 |
+ … + |
( | n
n − 1 | ) |
] |
= |
| |
= 35 k1, kde k1 je celé číslo. |
35
k1 = 7 · 5
k1 =
7
k2, kde
k2 je celé číslo.
Pro každé přirozené číslo
n tedy platí
62n − 1 = 7 k2,
daný výraz je tedy pro každé přirozené číslo
n dělitelný sedmi.
Úloha 4.25
Pomocí binomické věty dokažte, že platí:
| ( | n
0 | ) | − |
( | n
1 | ) | + |
( | n
2 | ) | − |
( | n
3 | ) |
+ … + |
(−1)n − 1 |
( | n
n − 1 | ) | + |
(−1)n |
( | n
n | ) |
= 0 |
Důkaz:
| ( | n
0 | ) | − |
( | n
1 | ) | + |
( | n
2 | ) | − |
( | n
3 | ) |
+ … + |
(−1)n − 1 |
( | n
n − 1 | ) | + |
(−1)n |
( | n
n | ) |
= (1 − 1)n = 0 |
Úloha 4.26
Kolik sčítanců dostaneme po umocnění
(a + b + c)7?
(Úlohu neřešte rozepisováním binomického rozvoje, ale kombinatorickou úvahou.)
Výsledek: K'(7, 3) = 36