2 Shodná zobrazení

2.1 Vlastnosti shodných zobrazení

Shodné zobrazení jsme zavedli v kapitole 1 jako zobrazení, které zachovává délky úseček. Bylo by dobré vědět, co vše potřebujeme znát, aby shodné zobrazení bylo jednoznačně zadané.

Věta: Shodné zobrazení je jednoznačně zadané třemi různými nekolineárními body a jejich obrazy.

Poznámka: Obrazy bodů musí samozřejmě splňovat požadavky pro shodné zobrazení. Tedy trojúhelník určený obrazy bodů musí být shodný s trojúhelníkem, který určují vzory bodů.
Důkaz: Podle věty potřebujeme tři nekolineární body a jejich obrazy, které splňují definici shodného zobrazení. Vzory můžeme libovolně zvolit. Dále k nim musíme vhodně zvolit jejich obrazy tak, aby odpovídající si úsečky byly stejně dlouhé. Máme tři vzory a tři obrazy. Zvolíme další bod. Měli bychom umět jednoznačně nalézt jeho obraz. Pokud toto budeme umět pro každý bod, bude věta pravdivá.

Na následujícím obrázku je shodné zobrazení zadáno pomocí bodů A, B, C, A′, B′, C′. Bod D zvolíme libovolně v rovině a pokusíme se určit jednoznačně jeho obraz D′. Zkuste se nejdříve zamyslet, jak by to bylo možné udělat. Nevíte-li si rady a nebo si chcete zkontrolovat svůj postup, zobrazte si ho pomocí šipek v dolní části obrázku.


Zvolíme libovolné tři nekolineární body A, B, C v rovině.
1. Dále musíme zvolit obrazy A′, B′, C′ těchto bodů tak, aby splňovaly podmínku pro shodné zobrazení: |AB| = |A′B′|, |AC| = |A′C′|, |BC| = |B′C′| . Sestrojíme kdekoli v rovině trojúhelník A′B′C′ shodný s trojúhelníkem ABC. Takto sestrojené body A′, B′, C′ budeme brát za obrazy bodů A, B, C. Věta říká, že je takto shodné zobrazení zadané. Zbývá větu dokázat.
2. Zvolíme si tedy libovolný bod D a budeme hledat jeho obraz. Na obrázku je bod D zvolen různě od bodů A, B, C. Pokud bychom ho zvolili v některém z vrcholů trojúhelníku ABC, například ve vrcholu B, byl by jeho obraz v odpovídajícím vrcholu trojúhelníku A′B′C′, tedy ve vrcholu B′.
3. Nyní se pokusíme najít jednoznačně bod D′. Z definice shodného zobrazení víme, že musí být zachována velikost úsečky. To znamená, že vzdálenost bodu D′ od bodu A′ musí být stejná jako vzdálenost bodu D od bodu A. Tedy bod D′ leží na kružnici se středem v bodě A′ a poloměrem |AD|. Podobně bod D′ také musí ležet na kružnici se středem v bodě B′ a poloměrem |BD|. Bod D′ musí ležet na obou kružnicích, a tedy bude ležet v jejich průsečíku. Ale ve kterém? Obě kružnice mají dva společné body. My si však nemůžeme vybrat jeden z nich, protože bychom porušili definici zobrazení, která říká, že obraz musí být určen jednoznačně.
4. Uvědomíme si, že věta říká, že potřebujeme tři body a jejich obrazy. Použili jsme však zatím jen dva body. Použijeme tedy třetí bod C stejným způsobem jako body AB. Bod D′ musí ležet na kružnici se středem v bodě C′ a poloměrem |CD|. Tato kružnice protne předchozí dvě v jednom z jejich společných průsečíků. Bod, ve kterém se protínají všechny tři kružnice, je bod D′.

Závěr tedy je, že věta je pravdivá. Nyní již víme, jak můžeme shodné zobrazení zadat.

Zkusme se nyní zamyslet, jaké vlastnosti charakterizují shodné zobrazení.

Věta: Každé shodné zobrazení je prosté.
Důkaz: Aby zobrazení bylo prosté, musí platit, že každým dvěma různým bodům jsou přiřazeny dva různé body. Zvolíme dva různé body, které mají vzdálenost d. Sestrojíme-li jejich obrazy ve shodném zobrazení, musí mít podle definice shodného zobrazení tyto obrazy také vzdálenost d. Z toho vyplývá, že každým dvěma různým bodům jsou přiřazeny dva různé body.

V následujícím apletu, ve kterém je určeno shodné zobrazení pomocí dvojic bodů AA′, BB′, CC′, pohybujte bodem X po přímce a sledujte, jak se pohybuje jeho obraz. Dále pohybujte bodem Y po kružnici a pozorujte jeho obraz. Pohybujte bodem Z po polopřímce PZ. Po jakém útvaru se pohybuje obraz bodu Z? Nakonec pohybujte bodem U po úsečce VW a pozorujte jeho obraz.


obnovit aplet

Při pozorování apletu jste si jistě všimli následujících vlastností shodného zobrazení.

Tvrzení: Ve shodném zobrazení platí:
obrazem přímky je přímka; obrazem kružnice je kružnice se shodným poloměrem; obrazem polopřímky je polopřímka, jejíž počáteční bod je obrazem počátečního bodu vzoru polopřímky; obrazem úsečky je úsečka stejné délky.

Následující aplet nám pomůže objasnit další z vlastností shodných zobrazení. V apletu jsou vyobrazeny tři shodné trojúhelníky a jejich kružnice opsané se středy S, S′, S′′. Pohybujte trojúhelníky tak, aby se překryly a aby se překrývaly také odpovídající si vrcholy. Posouvat trojúhelníky lze pomocí bodů S, S′, S′′ a otáčet je lze pomocí bodů O, O′, O′′, které se pohybují po opsaných kružnicích.


obnovit aplet

Zajisté se vám povedlo překrýt trojúhelníky PQOP′Q′O′. Trojúhelníkům s touto vlastností budeme říkat přímo shodné. Avšak pravděpodobně se vám to nepodařilo s trojúhelníky PQOP′′Q′′O′′ nebo s trojúhelníky P′Q′O′P′′Q′′O′′, přestože jsou tyto trojúhelníky shodné. Aby se nám to podařilo, museli bychom jeden z trojúhelníků "vyndat" z obrazovky či papíru, překlopit ho a zase "vrátit". Takovým trojúhelníkům říkáme nepřímo shodné.

Představte si, že chodíte po lávkách spojených do tvaru trojúhelníku, jehož vrcholy by byly po řadě očíslované. Někde jinde by existovaly další shodné lávky spojené do tvaru stejného trojúhelníku se stejně očíslovanými vrcholy. V prvním trojúhelníku z lávek budete chodit od čísla 1 k číslu 2 a dále do čísla 3, v každém vrcholu zahnete doprava. Ovšem jinde na shodných lávkách byste chodili také od čísla 1′ k číslu 2′ do čísla 3′, ale vždy ve vrcholu byste odbočovali vlevo. Spojnice odpovídajících si vrcholů jsou však stejně dlouhé, a tedy trojúhelníky, po kterých se pohybujete, jsou shodné. Jsou však nepřímo shodné, a proto jednou chodíte stále vpravo a jednou stále vlevo.


Definice: Shodnost, ve které jsou obraz a vzor trojúhelníku přímo shodné nazveme přímou shodností. Shodnost, ve které jsou obraz a vzor trojúhelníku nepřímo shodné nazveme nepřímou shodností.


Příklad 2.1
Překreslete si obrázek níže a doplňte bod C′ tak, aby trojúhelníky ABCA′B′C′ byly nepřímo shodné. Dále doplňte bod C′′ tak, aby trojúhelníky ABCA′B′C′′ byly přímo shodné.


 
Řešení
Na obrázku vidíte správné řešení. Můžete si ho překreslit a vyzkoušet, zda se přímo shodné trojúhelníky na sebe dají přesunout bez vyjmutí z roviny. Vyzkoušejte si, jestli se nepřímo shodné trojúhelníky musí z roviny "vyndat", aby se daly překrýt. Také si můžete zvolit pořadí vrcholů, jak se budete pohybovat a vyzkoušet si, zda ve vrcholech odbočujete vždy vpravo či vlevo, nebo jednou vpravo a jednou vlevo.

Obrazem útvaru U ve shodném zobrazení je útvar U′ shodný s útvarem U. Obsah útvaru U je stejný jako obsah útvaru U′. V apletu níže je shodné zobrazení zadáno pomocí trojúhelníků ABC a A′B′C′. V apletu je několik útvarů a jejich obrazy v daném shodném zobrazení. U každého útvaru je uveden jeho obsah. Pohybujte útvary nebo jejich body a pozorujte, že obsah obrazu je stále stejný jako obsah vzoru. Mnohoúhelníkem a trojúhelníkem je možno pohybovat uchopením některé ze stran. Tvar mnohoúhelníku a trojúhelníku je možno měnit pohybováním vrcholy. Kružnici lze přesouvat uchopením jejího středu. Její poloměr se mění uchopením kružnice a tažením ke středu nebo od středu.


obnovit aplet