Subsections

9. příklad

Zadání:

Mějme elipsu zadanou dvěma ohnisky E, F a velikostí hlavní osy a. Mějme bod U. Nalezněte tečnu k elipse, která prochází bodem U.

Řešení:

  1. Elipsu jednoduše narýsujeme, neboť nalezení dalších základních prvků jsme již řešili.

  2. Zde se zaměříme na sestrojení tečny. Máme zde opět dvě možnosti, jak nalézt řešení, pomocí řídicí kružnice a nebo pomocí vrcholové kružnice.

  3. Pomocí řídicí kružnice:

    1. Pokusíme se nejdříve sestrojit bod souměrný s ohniskem F podle hledané tečny, tedy využijeme řídicí kružnice. Tento bod, nazveme jej I, resp. J, leží na řídicí kružnici l (E, 2a) a také musí platit, že |UF| = |UI| = |UJ|, tedy leží na kružnici se středem v U a poloměrem |UF|.

    2. Tečnu nyní najdeme jednoduše, neboť jak jsme již říkali je to osa souměrnosti úsečky FI, resp. |FJ| tedy je kolmá na tuto úsečku.

    3. Jediné co nám zbývá najít je bod dotyku tečny. Tento bod leží na elipse a zároveň na tečně, tedy pokud spojíme druhé ohnisko E s bodem I, resp J. Průsečík této přímky je hledaný bod. A proč tak platí? Protože vzdálenost bodů |EG| = 2a a zároveň pro libovolný bod X na tečně platí |FX| = |XI|, resp. |FX| = |XJ| tedy pro právě sestrojený bod platí ohnisková definice, nutně tedy leží na elipse.

  4. Druhý způsob:

    1. Druhý způsob je pomocí vrcholové kružnice. Na této kružnici leží paty kolmic spuštěných z ohniska na tečnu. Tento bod leží na tečně, tedy pokud jej najdeme budeme mít tečnu určenou. Sestrojíme tedy vrcholovou kružnici j(A, a).

    2. Dále platí, že trojúhelník tvořený body E, U a právě hledaným bodem je pravoúhlý, právě u tohoto bodu. Tedy sestrojíme Thaletovu kružnici nad spojnicí EU, tedy kružnici o.

    3. Průnik těchto dvou kružnic tj. j a o jsou dva body I, J hledané paty kolmic. Tečny tedy jsou určeny body UI a UJ.

    4. Body dotyku zde nalezneme obtížněji. Neboť musíme nalézt body souměrně sdružené s ohniskem E podle tečen. Tyto body leží na již nalezené úsečce EI, resp. EJ a platí pro ně |EI| = |IM|, resp. |EJ| = |JN|. Body dotyku tedy nalezneme jako průsečík jednotlivých tečen s úsečkami MF, resp. NF.