8. příklad

Image Priklad3_1
Obrázek 1: Zadání druhého příkladu

Zadání:

Sestrojte kuželosečku, je-li dáno jedno ohnisko F a dvě tečny t1, t2 a velikost hlavní osy a, viz obrázek 1.

Řešení:

  1. Načtení zadání:

    Tento příklad je opět ve složce Priklady/Priklad8.obr. Po otevření se objeví zadání jako na obrázku 1.

  2. Nalezení středu kuželosečky:

    Image Priklad3_2
    Obrázek 2: Nalezení středů hledaných kuželoseček

    Zde máme volbu zda budeme využívat řídící kružnice d nebo vrcholové kružnice v. Pokud bychom sestrojovali řídící kružnici v(S, 2a), pak sestrojíme body Q1, Q2, tj. body souměrně sdružené s ohniskem F podle jednotlivých tečen. My ale zde zvolíme druhý postup.

    1. Sestrojení pat kolmic spuštěných z bodu F na tečny:

      Vedeme kolmice bodem F na obě tečny. Nalezneme průsečíky těchto kolmic s jednotlivými tečnami, tj. vzniknout nám dva body A, B, viz obrázek 2. Získali jsme hledané body, které leží na vrcholové kružnici.

    2. Sestrojení vrcholové kružnice v:

      Hledáme kružnici, pro kterou platí, že její střed je střed kuželosečky, elipsy nebo hyperboly, a její poloměr je roven velikosti hlavní osy a. Na této kružnici leží průsečíky tečen a kolmic z bodu F na tečny, proto zde leží i právě nalezené body A, B.

      Nyní máme tedy úlohu nalézt kružnici, která prochází body A, B a má daný poloměr a. Sestrojíme kružnici d (B, a) a kružnici e(A, a). Na průsečíku kružnic d, e nalezneme hledané středy vrcholových kružnic. Tyto body jsou dva, jak je vidět i na obrázku 2. Nalezli jsme středy vrcholových kružnic a máme tedy i střed dvou kuželoseček.

  3. Sestrojení druhého ohniska:

    Sestrojení druhého ohniska je jednoduché, stačí pouze prodloužit hlavní osu a sestrojit kružnici se středem ve středu kuželosečky o poloměru |CF|, resp. |DF|, tj. excentricita. Průsečík této kružnice a hlavní osy je druhé ohnisko.

  4. Sestrojení hlavních vrcholů:

    Image Priklad3_3
    Obrázek 3: Nalezení druhého ohniska a hlavních vrcholů

    Sestrojení hlavních vrcholů, je také poměrně jednoduché, neboť leží na již nalezené vrcholové kružnici. Sestrojíme tedy kružnice j(D, a) a k(C, a), viz obrázek 3. Na průsečíku kružnice j a f, hlavní osy první kuželosečky dostáváme body H, I. Analogicky pro druhou kuželosečku dostáváme body K, J, které vznikají jako průsečíky kružnice k a hlavní osy g.

  5. Sestrojení vedlejších vrcholů:

    Nalezli jsme hlavní vrcholy a můžeme tedy diskutovat jaké jsme získali kuželosečky, neboť pro sestrojení vedlejších vrcholů potřebujeme znát typ kuželosečky.

    1. První kuželosečka:

      Pokud se podíváme na první kuželosečku, na obrázku 3 tu více vlevo, všimneme si, že hlavní vrcholy, tj. body H, I leží blíže středu než ohniska, tj. body E, F. Platí a < e. První kuželosečka je tedy hyperbola.

      Image Priklad3_4
      Obrázek 4: Nalezení hlavních prvků hyperboly

      Vedlejší vrcholy, tedy sestrojíme pomocí kružnice l (H,|ED|), tj. kružnice se středem v jednom z vrcholů a poloměrem velikosti excentricity. Nyní sestrojíme vedlejší osu hyperboly, která je kolmá na hlavní osu a prochází středem kuželosečky. Sestrojíme přímku m. Vedlejší vrcholy nyní nalezneme jako průsečíky kružnice l a přímky m, dostáváme body M, L, viz 4.

    2. Druhá kuželosečka:

      Nyní se podíváme na druhou kuželosečku, která je na obrázku 3 více vpravo. Zde jsou hlavní vrcholy J, K a ohniska F, G v opačném pořadí, než u hyperboly. Platí, že |FC| < |JC|, tj e < a. Dostáváme v tomto případě elipsu.

      Image Priklad3_5
      Obrázek 5: Nalezení hlavních prvků elipsy

      Pro sestrojení vedlejších vrcholů použijeme přímku n a kružnici o(G, a). Vedlejší vrcholy, pak leží na průsečíku přímky n a kružnice o, viz obrázek 5. Dostáváme body N, O.

  6. Vyrýsování kuželoseček:

    Můžeme tedy vykreslit samotné kuželosečky, elipsu a hyperbolu, viz obrázek 6.

    Image Priklad3_6
    Obrázek 6: Vyrýsované řešení, hyperbola a elipsa

  7. Sestrojení bodů dotyku tečny a jednotlivých kuželoseček:

    Nyní zbývá pouze sestrojení bodů dotyku, které se sestrojují u elipsy a hyperboly shodně. Nalezneme je na průsečíku příslušné tečny a přímky spojující druhé ohnisko s bodem Q z definice řídící kružnice.

    1. Sestrojení bodů souměrných podle ohniska F:

      Využijeme přímek b, c, pomocí kterých jsme sestrojovali paty kolmic. Tyto přímky prodloužíme do druhé poloroviny dané tečnami. Sestrojíme bod P tak, aby platilo |PA| = |FA| a analogicky bod Q, že platí |QB| = |BF|. Body P, Q jsou hledané body souměrně sdružené podle tečen s ohniskem F.

      Image Priklad3_7
      Obrázek 7: Nalezení bodů dotyku tečen t1 a t2 s elipsou a hyperbolou

    2. Nalezení bodů dotyku elipsy:

      Sestrojíme přímku u danou body P, G a přímku v danou body Q, G. Průsečík přímky u a tečny t1 je bod R, bod dotyku tečny t1 s elipsou. Bod dotyku S tečny t2 získáme jako průsečík této tečny a přímky v. Jako je na obrázku 7.

    3. Nalezení bodů dotyku hyperboly:

      Jak již bylo řečeno, body dotyku hyperboly se hledají stejně jako u elipsy. Proto sestrojíme přímky V, W procházející bodem E a po řadě body P, Q. Na průsečíku přímky v a tečny t1 leží bod T, bod dotyku tečny t1. Dotykový bod U tečny t2 s hyperbolou nalezneme jako průsečík přímky w a této tečny, viz obrázek 7. Nyní bychom měli mít na rýsovací ploše to co je na obrázku 8.

      Image Priklad3_8
      Obrázek 8: Řešení druhého příkladu