Notice: Use of undefined constant default_charset - assumed 'default_charset' in /var/www/web/kdm/diplomky/cabri/config.php on line 1 Geometrie zive

Geometrie zive - logo

Stejnolehlost

Definice

Je dán bod S a reálné číslo k (k≠0). Stejnolehlost (také homotetie) se středem S a koeficientem k je zobrazení H(S,k), které přiřazuje:

  1. každému bodu XS bod X’ tak, že platí |SX’| = |k| * |SX| a při tom
    • je-li k > 0, pak X’ leží na polopřímce SX
    • je-li k < 0, pak X’ leží na polopřímce opačné k polopřímce SX
  2. bodu S bod S’ = S.

otevři rys v CabriJava

Rys 1 - Obraz přímky

Modrá přímka p, určená body M a N, je zobrazena ve stejnolehlosti se středem S a daným koeficientem. Jejím obrazem je červená přímka p’ procházející body M’ a N’, což jsou obrazy bodů M a N ve stejné stejnolehlosti.

otevři rys v CabriJava

Měňte polohu přímky p (posunem bodů M a N) a bodu S. Koeficient stejnolehlosti lze měnit posunem červeného bodu po číselné ose ve spodní části rysu.

Přímky p a p’ se podle rysu zdají být rovnoběžné. Ověřte, že si tuto vlastnost zachovávají i pokud se mění střed a koeficient stejnolehlosti. V Cabri Geometry lze použít nástroj pro ověření rovnoběžnosti.

Dokažte, že přímky p a p’ jsou rovnoběžné.

  1. Z definice stejnolehlosti vyplývá, že |úhel MSN| = |úhel M’SN’| a že poměry |M’S| : |MS| = |N’S| : |NS| = k.
  2. Z toho vyplývá, že trojúhelníky SMN a SM’N’ jsou podobné (podle věty sus).
  3. |úhel SMN| = |úhel SM’N’|, protože velikosti odpovídajících si úhlů v podobných trojúhelnících jsou shodné.
  4. Úhly SMN a SM’N’ jsou shodné. Vzhledem k přímkám p a p’ jsou to úhly souhlasné, přímky p a p’ jsou tedy rovnoběžné, c.b.d.

Najděte a popište situace, kdy je přímka p samodružná, tedy kdy modrá přímka splyne s červenou přímkou.

Pokud p prochází středem stejnolehlosti S nebo je-li koeficient stejnolehlosti 1.

Dokažte, že ve stejnolehlosti je obrazem přímky opět přímka.

Rys 2 - Základní vlastnosti

Modrý domek je ve stejnolehlosti se středem S a daným koeficientem zobrazen na červený domek.

otevři rys v CabriJava

Měňte koeficient stejnolehlosti (pohybujte zvýrazněným červeným bodem na číselné ose). Vyzkoušejte nastavit různé kladné a záporné hodnoty.

Při jakém koeficientu stejnolehlosti splyne červený domek (obraz) s modrým domkem, svým vzorem?

Pro k = 1.

Kdy bude modrý domek středově souměrný s červeným?

Pro k = -1.

Nyní experimentujte i s umístěním středu stejnolehlosti S a pozorujte, jaký je vztah vzoru a obrazu. Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení platná:

? Odpovídající si úsečky jsou vždy shodné.

Ne, jsou shodné pouze pro k = 1 nebo k = -1.

? Odpovídající si úsečky jsou rovnoběžné.

Ano.

? Domky jsou stejně velké.

Ne.

? Domky mají stejný tvar.

Ano.

? Odpovídající si úhly jsou shodné.

Ano.

? Poměry délek v červeném a modrém domku jsou stejné.

Ano.

Rys 3 - Obraz kružnice

Je dán bod S, kružnice k se středem O a na ní ležící bod X. Bod X’ je obrazem bodu X ve stejnolehlosti se středem S a daným koeficientem. Budeme zkoumat, jak vypadá obraz kružnice k ve stejnolehlosti se středem S.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte bodem X po celé kružnici k. Tím se odpovídajícím způsobem pohybuje i bod X’.

Jaký tvar zanechá jeho stopa? Resp. po jaké dráze se pohybuje bod X’?

Stopa bodu X’ má tvar kružnice.

Posuňte konstrukci o dva kroky vpřed, tím se zobrazí kružnice k’, obraz kružnice k v dané stejnolehlosti. Přesvědčete se, že stopa bodu X’ skutečně pokrývá kružnici k’. Poté je možné stopu bodu X vypnout (ikona img/trace.pngna ovládací liště CabriJava).

Dokažte, že obrazem kružnice ve stejnolehlosti je opět kružnice.

Nápověda: |O’X’| = k * |OS| = konst.

Nyní měňte kromě koeficientu stejnolehlosti i polohu jejího středu. Vytvořte situace, kdy kružnice k a k’ jsou soustředné / mají vnější dotyk / mají vnitřní dotyk / jsou identické.

Rys 4 - Stejnolehlé kružnice

Jsou dány dvě kružnice k1(O1,r1) a k2(O2,k2). Budeme hledat stejnolehlosti, které zobrazí kružnici k1 na k2.

otevři rys v CabriJava

Podle rysu popište konstrukci středů stejnolehlosti S1 a S2, která zobrazí kružnici k1 na k2.

Na kružnici k1 je libovolně zvolen bod X. Sestrojíme průměr kružnice k2 rovnoběžný s O1X, průsečíky tohoto průměru s kružnicí k2 označíme X’ a X’’. Body X’ a X’’ jsou obrazy bodu X v uvažovaných stejnolehlostech. Stejně tak O2 je obrazem bodu O1. Středy stejnolehlosti tedy najdeme jako průsečíky přímek O1O2 a XX’, resp. XX’’.

Pohybem bodu X po kružnici k1 ověřte, že nalezené středy S1 a S2 nezáleží na volbě bodu X.

Zjistěte, jaká bude poloha středů stejnolehlostí pro různé vzájemné polohy kružnic k1 a k2 - vnější dotyk, vnitřní dotyk, jedna uvnitř druhé, soustředné.

Kdy nastane případ, že hledaná stejnolehlost je právě jedna?

Pokud mají kružnice k1 a k2 stejný poloměr nebo jsou-li soustředné.

Příklad 1

Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Sestrojte čtverec MNOP tak, aby jeho vrcholy M a N ležely na straně AB, vrchol P na straně AC a O na straně BC.

otevři rys v CabriJava

Řešení

Nejprve sestrojíme pomocný čtverec M’N’O’P’ tak, že bude splňovat všechny podmínky kromě poslední. Zvolíme bod M’ na straně trojúhelníka AB, tím je poloha čtverce M’N’O’P’ dána.

Nechť čtverec MNOP splňující dané podmínky existuje. Pak jsou čtverce MNOP a M’N’O’P’ stejnolehlé ve stejnolehlosti se středem v bodě A. Vrchol O z vlastnosti stejnolehlosti musí ležet na přímce AO’. Podle zadání leží na straně BC, najdeme ho tedy jako průnik přímky AO’ se stranou BC. Bodem O je pak dána poloha celého čtverce MNOP.

Poznámka: Bodem M’ lze pohybovat po straně AB a plynule tak měnit pomocný čtverec. Lze tím přibližně najít řešení nebo lépe demonstrovat stejnolehlost obou čtverců.

Úloha 1

Jsou dány dvě různoběžky p a q a bod M ležící mimo ně. Sestrojte kružnici k takovou, že se dotýká obou přímek a prochází bodem M.

otevři rys v CabriJava

Nápověda: Podobně jako v příkladě 1, zkonstruujte nejprve pomocnou kružnici k’, která se dotýká přímek p a q, ale bodem M nemusí procházet.


[ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] Poslední úprava této stránky: 2016-02-11
Zoran Bonuš