Notice: Use of undefined constant default_charset - assumed 'default_charset' in /var/www/web/kdm/diplomky/cabri/config.php on line 1 Geometrie zive

Geometrie zive - logo

Množiny bodů dané vlastnosti

Úvod

Tato kapitola je věnována studiu základních množin dané vlastností, které se nejčastěji používají při řešení konstrukčních úloh. Více než jinde je zde kladen důraz na objevování studovaných vlastností samotným žákem. Rysy neslouží pouze k demonstraci, ale jsou stavěny jako experiment, na jehož konci je objevení hledané množiny bodů.

V této kapitole se hojně využívá funkce Cabri "stopa". Ve většině rysů mají objekty, u kterých je to užitečné, stopu automaticky zapnutou. Znamená to, že pokud se pohybují, zanechávají za sebou "otisky" svých původních pozic. Podrobnější informace o této funkci lze nalézt v kapitole CabriJava - ovládání.

Většina rysů je záměrně nastavena tak, že nezobrazují celou (hotovou) konstrukci, ale ukazují ji ve stavu jeden nebo více kroků před jejím dokončením. Poslední kroky v těchto případech totiž obsahují narýsování hledané množiny. Tím, že se konstrukce nastaví o jeden či více kroků zpět, se tato množina skryje a lze ji zobrazit až na konci práce s rysem, např. pro demonstraci a ověření výsledku.

Cílem kapitoly není kompletní výklad tématu "množiny bodů dané vlastnosti". Ten lze nalézt např. v [1]. Pro přehlednost alespoň základní definice pojmu:

Množina M všech bodů roviny, které mají danou vlastnost, je množina bodů, pro kterou současně platí:
1. Každý bod množiny M má danou vlastnost.
2. Každý bod roviny, který má danou vlastnost, patří do množiny M.

Při práci s pojmem množina bodů dané vlastnosti je třeba mít na paměti, že musí být splněny obě podmínky definice - viz rysy 4, 5, 11 a důkaz v příkladě 1. Druhou podmínku definice lze nahradit ekvivalentní podmínkou:

2. Každý bod, který do množiny M nepatří, nemá danou vlastnost.

Program Cabri Geometry již obsahuje nástroje pro tvorbu většiny zde uvedených množin (osa úsečky, kolmice, osa úhlu atd.). Studenti by se ale měli nejprve naučit konstruovat tyto množiny samostatně. Učitel proto může na začátku výuky v nastavení programu tyto nástroje zakázat a povolit je až tehdy, kdy studenti konstrukce sami dobře zvládají.

Rys 1 - Kružnice

Máme dán bod S, vzdálenost r a bod X, který má od bodu S vzdálenost r.

otevři rys v CabriJava

Bod X není určen jednoznačně. Bodů, které mají od bodu S vzdálenost r je mnoho. Můžeme částečně pohybovat bodem X, který si stále zachovává danou vzdálenost od bodu S, a získávat tak další body, které také mají od bodu S vzdálenost r. Pohybujte bodem X. Jakou množinu tvoří body mající od bodu S vzdálenost r?

Kružnici se středem S a poloměrem r.

Rys 2 - Osa úsečky I.

Nyní budeme řešit podobnou úlohu. Jsou dány body A a B a vzdálenost r. Zkonstruujeme body, které mají od bodu A i od bodu B vzdálenost r. Takové body jsou dva, na rysu jsou označeny X1 a X2.

otevři rys v CabriJava

Měňte vzdálenost r. Získáme tak body X1 a X2 pro libovolnou vzdálenost r, tedy obecně body, které mají od bodů A a B stejnou vzdálenost. Jakou množinu tyto body tvoří?

Přímku kolmou na úsečku AB a procházející jejím středem, tedy osu úsečky AB.

Rys 3 - Osa úsečky II.

Osa úsečky se dá definovat i jinými způsoby, např. jako množina středů kružnic, které prochází body A a B. Máme dánu úsečku AB a bod C mimo tuto úsečku. Bodům A, B a C opíšeme kružnici k. Střed této kružnice označíme X.

otevři rys v CabriJava

Pohybujme bodem C. Budeme tak vytvářet různé kružnice, které prochází body A, B. Jakou množinu tvoří středy těchto kružnic? (Střed kružnice X zanechává pro názornost stopu.)

Osu úsečky AB.

Rys 4 - Osa úsečky III.

Je dána úsečka AB, její osa o a bod X ležící mimo tuto osu.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte bodem X a sledujte vzdálenosti |XA| a |XB|. Je možné, aby byly obě vzdálenosti stejné a přitom bod X ležel mimo osu o?

Ne, pokud X leží mimo osu o jsou vzdálenosti |XA| a |XB| různé.

Rys 5 - Ekvidistanta

Je dána přímka p a body X1 a X2, které mají od přímky p danou vzdálenost v (každý v jiné polorovině dané přímkou p).

otevři rys v CabriJava

Poloha bodů X1 a X2 není určena jednoznačně. Budeme jimi pohybovat (body si sami stále zachovávají danou vzdálenost od přímky) a získáme tak další body, které mají od přímky p danou vzdálenost v. Jakou množinu tvoří?

Tvoří dvojici rovnoběžek s přímkou p ve vzdálenosti v.

Rys 6 - Osa úhlu

Je dán úhel a bod X, který má od obou ramen úhlu danou stejnou vzdálenost v.

otevři rys v CabriJava

Budeme měnit vzdálenost v. Stopa bodu X označí část množiny bodů, které mají od obou ramen úhlu stejnou vzdálenost. Co je to za množinu?

Přímka půlící úhel na dva shodné úhly, tedy osa úhlu.

Rys 7 - Osa různoběžek

Jsou dány dvě různoběžky p, q, dále vzdálenost v a body X1, X2, X3 a X4, které mají od obou různoběžek vzdálenost v (zkonstruujeme je jako průnik dvou ekvidistant).

otevři rys v CabriJava

Podobně jako v předchozím rysu, budeme měnit velikost v a získáme tak část množiny bodů, které mají od daných různoběžek stejnou vzdálenost. Co je to za množinu?

Osy úhlů, které různoběžky svírají.

Tato množina se dá také definovat jako množina všech středů kružnic, které se dotýkají daných různoběžek.

Rys 8 - Osa pásu

Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a bod X, který je od obou přímek stejně vzdálen.

otevři rys v CabriJava

Bod X není jednoznačně zadán. Lze jím pohybovat, přičemž si však stále zachovává stejnou vzdálenost od obou přímek. Jeho stopa vykreslí část množiny všech takových bodů. Co je to za množinu?

Přímka rovnoběžná s oběma zadanými přímkami procházející středem jejich libovolné spojnice.

Tato množina se dá také definovat jako množina všech středů kružnic, které se dotýkají daných rovnoběžek.

Rys 9 - Thaletova kružnice

Je dána úsečka AB a nad ní je sestrojen pravý úhel AXB.

otevři rys v CabriJava

Nejprve popište konstrukci bodu X tak, aby úhel AXB byl pravý, je li dána úsečka AB.

Bodem A vedeme libovolnou přímku různoběžnou s úsečkou AB. Bodem B vedeme kolmici na tuto přímku. Průsečík těchto dvou přímek označíme X. Bod X je vrchol pravého úhlu AXB, zkonstruované přímky jsou jeho ramena.

Úhel AXB není jediný pravý úhel, který se dá nad úsečkou AB sestrojit. Bod X je závislý na volbě přímky procházející bodem A. Měňte polohu této přímky, tím získáte další pravé úhly nad úsečkou AB. Jakou množinu tvoří vrcholy těchto pravých úhlů?

Tvoří kružnici nad průměrem AB (kromě bodů A, B ).

Poznámka: Z rysu v Cabri není díky nepřesnosti zobrazení patrné, že body A a B do výsledné množiny nepatří (na obrázku se jeví výsledek jako celá kružnice).

Rys 10 - Kružnicové oblouky

Máme dánu úsečku AB a velikost úhlu. Nad úsečkou AB jsou sestrojeny kružnicové oblouky, osově souměrné podle úsečky AB. Na jednom z oblouků je umístěn bod X.

otevři rys v CabriJava

Bodem X můžeme pohybovat po oblouku nad úsečkou AB. Všimněte si, že velikost úhlu AXB se při tom nemění. Víte proč?

Úhel AXB je úhel obvodový.

Zadaný úhel (vpravo) lze měnit pohybem jeho ramen. Všimněte si, že se shodně s ním mění i velikost úhlu AXB. Současně se mění i oblouky nad úsečkou AB. Co se stane s oblouky, pokud (přibližně) nastavíme zadaný úhel na pravý?

Oblouky splynou v Thaletovu kružnici nad úsečkou AB.

Popište oblouky jako množinu bodů dané vlastnosti:

Oblouky tvoří množinu vrcholů úhlů dané velikosti, které prochází body A a B.

Pokuste se najít a popsat způsob konstrukce těchto oblouků.

Nápověda: Použijte shodnost úhlu úsekového a obvodového (viz kapitola Úhly na kružnici, případně napoví pomocné konstrukce zobrazeného rysu).

Rys 11 - Soustředné kružnice

Jsou dány dvě modré soustředné kružnice k1(S, r1) a k2(S, r2), r2 > r1 a dvě zelené kružnice takové, že se obě dotýkají k1 i k2.

otevři rys v CabriJava

Rys je nastaven tak, že po otevření se začnou obě zelené kružnice sami pohybovat. Přitom se ale stále dotýkají obou kružnic k1 a k2. Jejich středy zanechají stopu, přibližný obraz množiny středů kružnic, které se dotýkají dvou soustředných kružnic. Co je to za množinu?

Dvě soustředné kružnice se středem S a poloměrem (r2 - r1) / 2, resp. (r1 + r2) / 2.

Rys 12 - Parabola

Parabola jako množina bodů, které mají stejnou vzdálenost od dané přímky a daného bodu (ohniska) ležícího mimo ni.

otevři rys v CabriJava

Měňte vzdálenost v. Tím se zobrazí další body splňující zadanou vlastnost. Jejich stopy vytvoří část paraboly.

Posuňte stav konstrukce až na poslední krok - zobrazí se část paraboly vytvořené pomocí nástroje "množina bodů".

Zkuste experimentovat i se vzájemnou polohou bodu F a přímky p.

Rys 13 - Elipsa

Elipsa jako množina bodů, pro které je součet vzdáleností od dvou bodů E, F (ohnisek) roven dané vzdálenosti (délka úsečky AB), |AB| > |EF|.

otevři rys v CabriJava

Pohybujte zvýrazněným bodem na úsečce AB - stopy průsečíků kružnic vytvoří část elipsy.

Posuňte stav konstrukce až na poslední krok - zobrazí se část elipsy vytvořené pomocí nástroje "množina bodů".

Měňte délku úsečky AB.

Měňte vzdálenost ohnisek E, F.

Příklad 1 - Těžnice

Určete množinu bodů, kterou tvoří těžiště pravoúhlých trojúhelníků sdílejících přeponu.

otevři rys v CabriJava

Řešení:

AB označíme přeponu, C bude vrchol u pravého úhlu. Vrchol C musí ležet na Thaletově kružnici sestrojené nad přeponou AB. Sestrojíme tuto kružnici a bod C na ni libovolně umístíme. Těžiště T sestrojíme jako průsečík dvou těžnic. Pro názornost mu zapneme stopu. S pohybem vrcholu C po kružnici těžiště opíše malou kružnici kolem středu strany AB, který označíme S. To nás dovede k výsledku: těžiště pravoúhlých trojúhelníků sdílejících přeponu tvoří kružnici se středem S a poloměrem 1/3 * |SC| (víme, že v trojúhelníku těžiště dělí těžnici v poměru 1:2).

Důkaz: Z konstrukce je zřejmé, že těžiště každého pravoúhlého trojúhelníka s přeponou AB leží na této kružnici a naopak každému bodu T této kružnice odpovídá pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB takový, že T je jeho těžištěm.

* Příklad 2 - Ortocentra

Je dána přímka p, a body A a B mimo ni. Určete množinu všech ortocenter trojúhelníků ABC, jejichž vrchol C leží na přímce p.

otevři rys v CabriJava

Řešení:

Podle zadání zkonstruujeme trojúhelník ABC s vrcholem C na přímce p. Sestrojíme ortocentrum (jako průsečík dvou libovolných výšek). Ortocentru zapneme stopu. Pohybem bodu C po přímce ortocentrum vykreslí část křivky. Podle obrázku se zdá, že se jedná o kuželosečku - pravděpodobně parabolu. To lze v Cabri Geometry ověřit následujícím způsobem (pokud nemáte nainstalován Cabri Geometry, stačí v CabriJava posunout stav konstrukce o jeden krok vpřed.)

Vytvoříme množinu bodů určenou bodem O a pohybem bodu C po přímce p (zvolíme nástroj množina bodů a klikneme postupně na body O a C). Vybereme nástroj kuželosečka a jako určující body mu zadáme pět bodů na této množině (stačí myší kliknout na pět různých míst množiny). Vykreslená kuželosečka se přesně kryje s množinou bodů vytvořenou ortocentrem. Nástrojem zobrazit/skrýt skryjeme množinu bodů, tím se obrázek zpřehlední. Najedeme kurzorem nad kuželosečku, objeví se popisek "tato hyperbola". Hledanou množinou je tedy hyperbola, nikoliv parabola, jak by se mohlo zdát.

Není to však úplné řešení. Pokud zvolíme stranu AB rovnoběžnou s přímkou p (to lze snadno tím, že je obě upravíme tak, aby byly vodorovné), Cabri nám prozradí, že nyní je výsledná kuželosečka parabola.

Ještě zajímavější je krajní situace, kdy strana AB je kolmá na přímku p. V tom případě Cabri nedokáže kuželosečku vykreslit, ale jak se sami přesvědčíme pohybem bodu C, výšky se protnou vždy na přímce p. Výsledkem je tedy v tomto případě přímka p.

Najděte množinu, kterou tvoří těžiště a středy vepsaných kružnic těchto trojúhelníků.

Úloha 1

Je dána úsečka AB. Určete množinu všech obrazů bodu A v osové souměrnosti podle všech přímek, procházejícími bodem B.

otevři rys v CabriJava

Nápověda: B = B’ (je samodružný), |AB| = |A’B’|.

* Úloha 2 - Wittgensteinův problém

V padesátých letech navrhl Ludwig Wettgenstein, známý všestranný filozof, myšlenkový experiment, který se dá formulovat např. takto:

Máme tyč dané délky. Tyč prochází pevným otočným bodem P a jeden její konec je uchycen na kruhové dráze. Když tímto koncem po kruhové dráze pohybujeme, jakou křivku opisuje druhý konec tyče?

otevři rys v CabriJava

Odkazy


[ zpět ] [ nahoru ] [ titulní stránka ] Poslední úprava této stránky: 2016-02-11
Zoran Bonuš