Určování hodnot goniometrických funkcí

V následující tabulce shrneme hodnoty goniometrických funkcí pro velikosti některých úhlů.

Tabulka

sinus
kosinus
tangens					není definováno		není definováno
kotangens	není definováno					není definováno		není definováno

Funkční hodnoty pro úhly o velikostech , , jsou odvozeny v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu. Funkční hodnoty pro , určíme buď z jednotkové kružnice, nebo z grafu příslušné goniometrické funkce. Hodnoty v tabulce, které nejsou z intervalu , a to hodnoty , a , určíme také z jednotkové kružnice nebo z grafu funkce.

Funkční hodnoty pro další velikosti úhlů vypočítáme následujícími postupy, jejichž vysvětlení rozdělíme na 3 části.

Poznámka. V této kapitole budeme uvažovat ve stejném smyslu body a velikosti úhlů.

1. část Pro výpočet funkčních hodnot pro úhly o velikostech využijeme sudosti, případně lichosti funkcí.
Připomínáme, že funkce kosinus je funkce sudá a funkce sinus, tangens a kotangens jsou funkce liché, tj.




Jestliže tyto vztahy využijeme ve výpočtu, převedeme určení hodnot funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens v bodech na určení hodnot v bodech .

Příklady

1.

2.

3.

4.

>>nahoru<<

2. část Pro úhly o velikostech , neboli , použijeme jinou vlastnost goniometrických funkcí, a to jejich periodičnost.
Funkce sinus a kosinus, jak víme, mají nejmenší periodu a funkce tangens a kotangens mají nejmenší periodu .
Využití této informace uvidíme na následujících příkladech.

Příklady

5.

6.

7.

8.

9.
10.
11. Není definováno
12.
>>nahoru<<

3. část Pro úhly, jejichž velikost je z intervalů , , , u funkcí sinus a kosinus a z intervalů , u funkcí tangens a kotangens, je postup řešení následující:
Nejprve určíme znaménko funkční hodnoty příslušné goniometrické funkce podle intervalu, ve kterém se příslušný bod nalézá. Tedy určíme kvadrant, v němž leží bod jednotkové kružnice (viz tvorba jednotkové kružnice a hledání bodu z kapitoly Sinus a kosinus).

Pro přehlednost uvádíme znaménka v následující tabulce.

Tabulka

Kvadrant	I.	II.	III.	IV.
Interval argumentu
sinus	+	+	-	-
kosinus	+	-	-	+
tangens	+	-	+	-
kotangens	+	-	+	-

Poté, co vyhledáme příslušné znaménko v tabulce , vyjádříme uvažovanou hodnotu argumentu v některém z následujících tvarů, kde :

, je-li , tj. leží-li bod v II. kvadrantu

, je-li, tj. leží-li bod v III. kvadrantu

, je-li, tj. leží-li bod v IV. kvadrantu

Pro kteroukoliv goniometrickou funkci platí rovnosti pro každé . To lze snadno vyčíst z jednotkové kružnice nebo z grafů funkcí. Díky těmto vztahům určíme absolutní hodnotu hledané funkční hodnoty . Tím je ovšem až na znaménko určena i hodnota .
Celý postup si ukážeme a procvičíme na následujících příkladech.

Řešěný příklad
Určete funkční hodnotu sinu, kosinu, tangensu a kotangensu v bodě .

Řešení , to znamená, že bod leží ve II. kvadrantu.
Využijeme tedy, že platí , kde . Znaménka u jednotlivých funkčních hodnot nalezneme v tabulce (nebo je vyčteme z jednotkové kružnice) a dále použijeme rovnost .

Nyní už vyjádříme postupně jednotlivé funkční hodnoty.

13. Určete hodnoty goniometrických funkcí pro úhel o velikosti.

Jednotlivé funkční hodnoty:

Sinus je lichá funkce.

Znaménko u hodnoty funkce sinus je .

Kosinus je sudá funkce.

Znaménko u hodnoty funkce kosinus je .

Tangens je lichá funkce.

Znaménko u hodnoty funkce tangens je .

Kotangens je lichá funkce.

Znaménko u hodnoty funkce tangens je .

Nakonec této kapitoly ješte uvádíme applety k výpočtu funkčních hodnot goniometrických funkcí. Zde jsou uvedeny applety, které počítají funkční hodoty v radiánech. Obdobné applety, které počítají totéž ovšem ve stupních, najdete v kapitole Goniometrické funkce ostrého úhlu.

Výpočet velikosí úhlů a určení funkčních honot u goniometrických funkcí
>>nahoru<<